Lineární algebra

(4) Na permutaci n prvků můžeme pohlížet jako na zobrazení π : M → M , kde M = {1, 2, . . . , n}.

Pak inverzní permutace odpovídá inverznímu zobrazení. Zná-li už čtenář pojem skládání funkcí (f ◦ g),
pak může ověřit, že platí π ◦ π−1 = (1, 2, 3, . . . , n).

4.12. Věta. Nechť π je permutace n prvků. Pak π−1 má stejný počet inverzí, jako π.

Důkaz. Pro názornost si představíme inverzní permutaci způsobem (2) z poznámky 4.11. Zaměřme se
na dva sloupce uvedené dvouřádkové matice před prohozením sloupců:

 . . . , x, . . . , y, . . .

. . . ,

a,

. . . ,

b,

. . .

.

Protože jde o stav před prohozením sloupců, víme, že a < b. Pokud x < y, tj. (x, y) netvoří inverzi
v permutaci π, zůstanou po prohození sloupců tyto dva sloupce za sebou ve stejném pořadí. Takže se
nová inverze v permutaci π−1 nevytvoří. Pokud ale x > y, tj. (x, y) tvoří inverzi v permutaci π, pak
po prohození sloupců budou tyto dva sloupce v opačném pořadí. Dvojice prvků (b, a) tedy bude tvořit
inverzi v permutaci π−1.

4.13. Věta. Permutace π a π−1 mají vždy stejná znaménka.

Důkaz. Věta je přímým důsledkem věty 4.12.

4.14. Poznámka. V předchozích definicích a větách jsme si řekli minimum toho, co potřebujeme vědět
o permutacích, abychom pochopili definici determinantu a odvodili jednoduché vlastnosti determinantu.
Ve skutečnosti se u permutací dá studovat ještě mnoho dalších vlastností, které zde nebudeme potřebovat.

Definice
determi-
nantu

4.15. Definice. Nechť A = (ai,j) je čtvercová matice typu (n, n). Číslo

X

π=(i1,i2,...,in)

sgn π · a1,i

1 a2,i2 · · · an,in

(4.1)

nazýváme determinantem matice A a značíme je det A. V uvedeném vzorci se sčítá přes všechny per-
mutace n prvků, tj. jedná se podle věty 4.3 o n! sčítanců.