Lineární algebra

4.10. Definice. Nechť π = (i1, i2, . . . , in) je permutace n prvků. Inverzní permutací k permutaci π
je permutace (j1, j2, . . . , jn), pro kterou platí ji

k

= k pro všechna k ∈ {1, 2, . . . , n}. Tuto permutaci

označujeme znakem π−1.

4.11. Poznámka. Existuje několik možností, jak si představit inverzní permutaci k dané permutaci.

(1) Je-li v permutaci π na x-tém místě prvek y, pak v permutaci π−1 musí být na y-tém místě

prvek x.

(2) Zapišme pod sebe permutaci π a permutaci (1, 2, . . . , n) takto:

 i1 i2 i3 . . . in

1

2

3

. . .

n

42

Lineární algebra

4. Determinant

a zaměnme pořadí sloupců této matice tak, abychom v prvním řádku měli vzestupně čísla (1, 2, 3, . . . , n).
Pak ve spodním řádku je zapsána inverzní permutace k permutaci π. Uvažujme kupříkladu permutaci
(3, 4, 2, 6, 1, 5) a pišme:

 3 4 2 6 1 5

1

2

3

4

5

6

−→

 1 2 3 4 5 6

5

3

1

2

6

4

.

Je tedy (3, 4, 2, 6, 1, 5)−1 = (5, 3, 1, 2, 6, 4).

(3) Představme si šachovnici o rozměru n × n a rozestavme na ní n šachových věží tak, aby se vzá-

jemně neohrožovaly. Takových rozestavení může být více a každé rozestavení můžeme popsat jednoznačně
jako permutaci. V každém řádku i sloupci totiž stojí jediná věž a my můžeme číst rozestavení po řádcích
takto: do první složky permutace napíšeme číslo sloupce, na kterém stojí věž z prvního řádku, do druhé
složky číslo sloupce, na které stojí věž z druhého řádku atd. Dostáváme tak permutaci π. Pokud nyní
čteme totéž rozestavení po sloupcích, tj. do první složky permutace napíšeme číslo řádku věže z prvního
sloupce, do druhé složky číslo řádku věže z druhého sloupce atd., dostáváme permutaci π−1.