Lineární algebra

40

4. Determinant

Determinant je číslo, které jistým způsobem charakterizuje čtvercovou matici. Toto číslo má mnoho

důležitých významů, se kterými se setkáme nejen v lineární algebře, ale i v jiných matematických disci-
plínách. Determinant se podle definice počítá z prvků matice poměrně komplikovaným způsobem. Než
budeme schopni tuto definici formulovat, musíme si něco říci o permutacích. Na tomto pojmu je totiž
definice determinantu založena.

Permutace

4.1. Definice. Nechť M je konečná množina o n prvcích. Permutace prvků množiny M je uspořádaná
n-tice prvků množiny M taková, že žádný prvek z množiny M se v ní neopakuje. Permutaci prvků
množiny M = {1, 2, . . . , n} nazýváme stručně permutací n prvků.

4.2. Příklad. Uvedeme některé permutace pěti prvků: (1, 2, 4, 5, 3), (5, 4, 3, 2, 1), (3, 5, 4, 1, 2). Uspořá-
danou pětici (1, 2, 3, 2, 4) nepovažujeme za permutaci, protože se zde opakuje prvek 2.

4.3. Věta. Počet různých permutací n prvků je roven číslu n! .

Důkaz. Připomínáme, že n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1. Důkaz věty provedeme matematickou indukcí.
Pro čtenáře, který se s takovou formou důkazu ještě nesetkal, nejprve vysvětlíme princip matematické
indukce.

Matematickou indukcí dokazujeme tvrzení, které má platit pro všechna n ∈ N. Postupujeme ve

dvou krocích. Nejprve dokážeme toto tvrzení pro n = 1. Pak dokážeme tzv. indukční krok, který je
formulován ve tvaru implikace: „ jestliže tvrzení platí pro n, pak platí pro n + 1ÿ. Obhájíme-li platnost
této implikace, máme dokázáno tvrzení pro všechna n ∈ N. Vysvětlíme si, proč. V prvním kroku jsme
dokázali, že tvrzení platí pro n = 1. Uplatníme nyní indukční krok ve tvaru „ jestliže tvrzení platí pro
n = 1, pak platí pro n = 2ÿ. Tím máme zaručeno, že tvrzení platí pro n = 2. Zopakujeme indukční
krok, tentokrát ve tvaru „ jestliže tvrzení platí pro n = 2, pak platí pro n = 3ÿ. To dokazuje platnost
tvrzení pro n = 3. Opakovaným uplatněním indukčního kroku jsme schopni doložit platnost tvrzení pro
libovolně velké n.