Lineární algebra

3.48. Definice. Nechť A je čtvercová matice typu (n, n) a E je jednotková matice stejného typu. Matici
B typu (n, n), která splňuje vlastnost A · B = E = B · A nazýváme inverzní maticí k matici A. Inverzní
matici k matici A označujeme symbolem A−1.

3.49. Věta. Pokud k matici A existuje inverzní matice, pak je tato inverzní matice jednoznačně určena.

Důkaz. Nechť má čtvercová matice A dvě inverzní matice B a C. Ukážeme, že pak B = C. Platí:

B = B · E = B · (A · C) = (B · A) · C = E · C = C.

Zde jsme po řadě využili: poznámku 3.45, vlastnost, že C je inverzní matice k A, vlastnost (1) z věty 3.38,
vlastnost, že B je inverzní matice k A, a konečně znovu poznámku 3.45.

3.50. Věta. Ke čtvercové matici typu (n, n) existuje inverzní matice právě tehdy, když hod(A) = n.

Důkaz. Důkaz této věty přesuneme až do příští kapitoly o determinantech. Věta ukazuje, že matice,
které mají hodnost rovnu počtu řádků (tj. podle věty 3.18 jsou všechny řádky lineárně nezávislé) mají
inverzní matici. Pokud jsou řádky lineárně závislé, inverzní matice neexistuje. Můžeme tedy říci, že
pokud jsou řádky ve čtvercové matici lineárně závislé, je matice z hlediska maticového násobení „skoro
nulováÿ v tom smyslu, že k ní neexistuje inverzní matice (podobně jako k reálnému číslu nula neexistuje
převrácená hodnota). To nás inspiruje k následující definici.

Regulární,
singulární
matice

3.51. Definice. Čtvercová matice A typu (n, n) se nazývá regulární, pokud hod(A) = n. Čtvercová
matice A se nazývá singulární, pokud není regulární, tj. hod(A) < n.

3.52. Věta. Nechť A a B jsou regulární čtvercové matice typu (n, n). Pak matice A · B je rovněž
regulární matice typu (n, n).