Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
3b − 2c
= 0
2a + 3b
− 2d = 0
− 3a
− 3c + 3d = 0
− 3b + 2c
= 0
0
3
−2
0
2
3
0
−2
−1
0
−1
1
0
−3
2
0
∼
2
3
0
−2
0
3
−2
0
2a + 3b
− 2d = 0
3b − 2c
= 0
36
Lineární algebra
3. Matice
Proměnné c a d můžeme volit libovolně. Uvedené dvě rovnice nám umožňují dopočítat proměnné b a a
takto: b = 2/3 c, a = d−c. Všechny matice, které komutují s maticí A jsou tedy určeny dvěma parametry:
B =
d − c
2
3 c
c
d
= c
−1
2
3
1
0
+ d
1 0
0
1
,
c ∈ R,
d ∈ R.
Lineární prostor všech komutujících matic M se nám podařilo vyjádřit jako množinu všech lineárních
kombinací dvou konstantních matic. Tuto skutečnost zapíšeme pomocí lineárního obalu takto:
M =
−1
2
3
1
0
,
1 0
0
1
=
−3 2
3
0
,
1 0
0
1
.
Poslední úpravu (pronásobení první matice třemi) jsme nemuseli dělat, pokud se spokojíme se zlomkem
ve výsledku. V modelových příkladech se dosti často snažíme dostat výsledek vyjádřitelný v malých
celých číslech. Není to samozřejmě naší povinností, pouze pak výsledek lépe vypadá a nás více potěší.
Protože poslední dvě uvedené matice jsou lineárně nezávislé (to snadno zjistíme) a jejich lineární
obal je celý podprostor M , máme výsledek:
Báze M =
−3 2
3
0
,
1 0
0
1
,
tj. dim M = 2.
Matice
vektorů
3.42. Poznámka. V definici 3.1 jsme zavedli matice, jejíž prvky jsou reálná čísla. Občas se ale setkáme
s maticemi, jejíž prvky jsou vektory, tedy prvky libovolného lineárního prostoru. Za matici vektorů typu
(m, n) budeme považovat uspořádanou m-tici prvků z Ln, kde L je nějaký lineární prostor a znakem
Ln zde označujeme množinu uspořádaných n-tic prvků z L. Protože lze prvky lineárního prostoru podle
definice 1.6 násobit reálným číslem, lze přirozeně definovat též maticové násobení A · B, kde A = (ai,j)
je matice reálných čísel typu (m, n) a B = (bj,k) je matice vektorů typu (n, p). Výsledná matice A · B je
maticí vektorů typu (m, p) s prvky ci,k, pro které platí: