Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
34
Lineární algebra
3. Matice
3.36. Příklad.
1
2
3
4
5
6
7
8
0
2
1
0
·
1
2
3
4
5
6
2
7
=
1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 5 + 4 · 2
1 · 2 + 2 · 4 + 3 · 6 + 4 · 7
5 · 1 + 6 · 3 + 7 · 5 + 8 · 2
5 · 2 + 6 · 4 + 7 · 6 + 8 · 7
0 · 1 + 2 · 3 + 1 · 5 + 0 · 2
0 · 2 + 2 · 4 + 1 · 6 + 0 · 7
=
30
56
74
132
11
14
·
3.37. Příklad.
1 1
1
1
·
1
1
−1
−1
=
0 0
0
0
,
1
1
−1
−1
·
1 1
1
1
=
2
2
−2
−2
.
Tento příklad ilustruje, že násobení matic obecně nesplňuje komutativní zákon ani pro čtvercové matice,
tj. existují matice A, B, pro které neplatí A · B = B · A. Pokud některá z matic A, B není čtercová,
pak součin B · A nemusí být vůbec definován, přestože součin A · B definován je.
Příklad dále ukazuje, že není splněna ani vlastnost nuly, na kterou jsme zvyklí při násobení reálných
čísel: je-li a 6= 0, b 6= 0, pak a b 6= 0. V příkladu násobíme dvě nenulové matice, a přitom dostáváme
matici nulovou.
Musíme si z toho odnést ponaučení, že násobení matic nesplňuje všechny vlastnosti, na které jsme
zvyklí, a proto při úpravách vzorců obsahujících násobení matic si musíme dát pozor, co můžeme v dané
situaci udělat.
Nabízí se přirozená otázka, zda násobení matic splňuje aspoň nějaké zákony, na které jsme zvyklí
(jinak by bylo skoro zbytečné tuto operaci nazývat násobením). Následující věta ukazuje, že násobení
matic je asociativní a také distributivní vzhledem ke sčítání matic.
3.38. Věta. Nechť α ∈ R a matice A, B, C jsou odpovídajících typů tak, aby níže uvedené součiny a
součty byly definovány. Pak platí