Lineární algebra

Transpono-
vaná matice

3.28. Definice. Nechť A = (ai,j) je matice typu (m, n). Matici A

T

= (aj,i), která je typu (n, m),

nazýváme transponovanou maticí k matici A. Matice AT tedy vznikne z matice A přepsáním řádků
matice A do sloupců matice AT , respektive přepsáním sloupců matice A do řádků matice AT .

3.29. Příklad.

Je-li třeba A =

 1 2 3

4

5

6

,

pak je A

T =

1

4

2

5

3

6

.

3.30. Věta. Pro každou matici A platí: (AT )T = A.

Důkaz. Věta plyne přímo z definice 3.28.

33

Lineární algebra

3. Matice

3.31. Věta. Pro každou matici A platí: hod(AT ) = hod(A).

Důkaz (pro hloubavé čtenáře). Ukážeme nejprve, že hod(AT ) ≥ hod(A). Nechť A je typu (m, n) a
označme k = hod(A). Podle věty 3.18 existuje k lineárně nezávislých řádků matice A. Označme je
b1, b2, . . . , bk. Zapišme si, co to znamená, že tyto řádky jsou lineárně nezávislé. Pro

α1 b1 + α2 b2 + · · · + αk bk = o

musí být αi = 0 ∀i ∈ {1, . . . , k}. Tento požadavek vede na soustavu rovnic, která musí mít jedině triviální
řešení:

α1 b1,1 + α2 b2,1 + · · · + αk bk,1 = 0,
α1 b1,2 + α2 b2,2 + · · · + αk bk,2 = 0,

· · ·

α1 b1,n + α2 b2,n + · · · + αk bk,n = 0.

(3.1)

Koeficienty jednotlivých rovnic soustavy (3.1) odpovídají částem sloupců matice A. Částmi sloupců
v tomto důkazu budeme označovat uspořádané k-tice obsahující jen ty prvky z daného sloupce, které leží
ve vybraných řádcích b1, b2, . . . , bk. Aby bylo zaručeno pouze triviální řešení soustavy (3.1), musíme po
přímém chodu Gaussovy eliminační metody dostat trojúhelníkovou matici o k-řádcích (méně řádků by
vedlo na nekonečně mnoho řešení). To podle vět 3.18 a 3.13 znamená, že existuje k lineárně nezávislých
částí sloupců matice A. Tytéž celé sloupce matice A jsou lineárně nezávislé (kdyby byly závislé, pak
by stejná netriviální lineární kombinace celých sloupců dávala nulový vektor i na částech sloupců, ale
my víme, že části sloupců jsou lineárně nezávislé). Máme tedy zaručeno, že v matici A je aspoň k
lineárně nezávislých sloupců (zatím není vyloučeno, že jich může být více). Podle věty 3.18 tedy je
hod(AT ) ≥ k = hod(A).