Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Máme hod (AT )T
≥ hod(AT ) ≥ hod(A), a přitom podle věty 3.30 je (AT )T = A, takže všechny
uvedené hodnosti se rovnají.
3.32. Poznámka. Ukázali jsme, že hodnosti matice A a AT se rovnají. To vysvětluje, proč jsme ne-
definovali zvlášť „řádkovouÿ hodnost matice jako dimenzi lineárního obalu řádků a zvlášť „sloupcovouÿ
hodnost jako dimezi lineárního obalu sloupců. Tato čísla jsou podle věty 3.31 stejná.
3.33. Věta. Nechť A je matice typu (m, n). Pak hod(A) ≤ min(m, n).
Důkaz. Hodnost matice je menší nebo rovna počtu řádků z věty 3.18 a je menší nebo rovna počtu
sloupců z věty 3.31.
Násobení
matic
3.34. Definice. Nechť A = (ai,j) je matice typu (m, n) a B = (bj,k) je matice typu (n, p). Pak je
definován součin matic A · B (v tomto pořadí) jako matice typu (m, p) takto: každý prvek ci,k matice
A · B je dán vzorcem
ci,k = ai,1 b1,k + ai,2 b2,k + · · · + ai,n bn,k =
n
X
j=1
ai,j bj,k,
i ∈ {1, . . . , m},
k ∈ {1, . . . , p}.
(3.2)
3.35. Poznámka. Všimneme si, že násobení je definováno jen tehdy, pokud počet sloupců první matice
je roven počtu řádků druhé matice. Výsledná matice má stejný počet řádků, jako první matice a stejný
počet sloupců, jako druhá matice. Názorně:
m
◦
◦
· · ·
◦
◦
◦
· · ·
◦
· · ·
◦
◦
· · ·
◦
|
{z
}
n
·
n
◦
· · ·
◦
◦
· · ·
◦
◦
· · ·
◦
· · ·
◦
· · ·
◦
|
{z
}
p
=
◦
· · ·
◦
◦
· · ·
◦
· · ·
◦
· · ·
◦
|
{z
}
p
m
Každý prvek matice A · B přitom musíme počítat podle vzorce (3.2) jako součet součinů odpovídajících
prvků řádku první matice a sloupce druhé matice. Začátečníci mohou použít tzv. „dvouprstovou vizuální
metoduÿ: při výpočtu čísla ci,k přiložte ukazováček levé ruky na začátek i-tého řádku první matice a
ukazováček pravé ruky na začátek k-tého sloupce druhé matice. Pak pronásobte mezi sebou čísla, na
která ukazují prsty, a výsledek uložte do sčítací paměti. Posuňte levý prst na další prvek v řádku a pravý
prst na další prvek v sloupci. Znovu vynásobte a přičtěte výsledek ke sčítací paměti. Posunujte dále levý
prst v řádku a pravý prst ve sloupci, násobte a sčítejte ve sčítací paměti tak dlouho, dokud nevyčerpáte
celý řádek první matice. To se stane podle definice v okamžiku, kdy též vyčerpáte celý sloupec druhé
matice. Výsledek sčítací paměti pak napište jako prvek ci,k do postupně budované výsledné matice A · B.