Lineární algebra

ci,k = ai,1 b1,k + ai,2 b2,k + · · · + ai,n bn,k =

n

X

j=1

ai,j bj,k.

3.43. Příklad. Nechť A je matice reálných čísel typu (1, n) a B je matice vektorů typu (n, 1). Pak součin
A · B je lineární kombinace vektorů z B, přičemž prvky z A jsou koeficienty této lineární kombinace.
Názorně:

( a1,

a2,

· · · ,

an ) ·

b1
b2

..

.

bn

= a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn.

Jednotková
matice

3.44. Definice. Čtvercovou matici E typu (n, n) nazýváme jednotkovou maticí, pokud pro její prvky ei,j
platí: ei,j = 0 pro i 6= j a ei,j = 1 pro i = j. Názorně:

E =

1

0

0

· · ·

0

0

1

0

· · ·

0

· · ·

0

0

0

· · ·

1

.

3.45. Poznámka. Z definice maticového násobení okamžitě plyne, že pro každou čtvercovou matici A
typu (n, n) je E · A = A · E = A. Jednotková matice má tedy stejnou vlastnost vzhledem k násobení,
jako jednička při násobení reálných čísel. Pro reálná čísla taky platí, že 1 · a = a · 1 = a.

Všimneme si také, že jednotková matice je komutující s každou čtvercovou maticí.

3.46. Poznámka. Vraťme se k příkladu 3.41. Tam jsme našli bázi, ve které je jednotková matice. To nás
nepřekvapí, protože jednotková matice je komutující s každou maticí. Dále s maticí A komutuje stejná
matice A. Pokud víme, že dim M = 2 a matice A a E jsou lineárně nezávislé, můžeme rovnou prohlásit,
že hledaná báze lineárního podprostoru M je {A, E}. Zdálo by se, že jsme výpočty v příkladu 3.41 dělali
zbytečně. Není to tak docela pravda, protože dopředu nevíme, zda dimenze hledaného prostoru bude
rovna dvěma.

37

Lineární algebra

3. Matice

Inverzní
matice

3.47. Poznámka. V definici 3.44 jsme zavedli jednotkovou matici s podobnými vlastnostmi, jako má
reálné číslo 1. Vraťme se znovu ke srovnání s reálnými čísly. Pro každé nenulové reálné číslo a existuje
reálné číslo b takové, že ab = 1. Takové reálné číslo obvykle nazýváme převrácenou hodnotou čísla a
a označujeme 1/a nebo též a−1. Analogicky definujeme „převrácenou hodnotu maticeÿ, tzv. inverzní
matici.