Lineární algebra

39

Lineární algebra

3. Matice

3.58. Poznámka. Kdybychom napsali jednotkovou matici pod matici A a aplikovali na sloupce této
„dvojmaticeÿ sloupcové úpravy podle Gaussovy eliminační metody a získali nakonec v horní části ma-
tici E, pak je ve spodní části matice inverzní. Při důkazu tohoto tvrzení bychom postupovali analogicky
jako při řádkové metodě, jen maticemi Pi, které „emulujíÿ sloupcové úpravy, bychom násobili matici A
zprava a nikoli zleva.

Rozmyslete si, že není možné při metodě hledání inverzní matice kombinovat řádkové i sloupcové

operace dohromady. Naráží to na skutečnost, že násobení matic není komutativní.

3.59. Příklad. Najdeme matici X takovou, aby byla splněna rovnice

A · X − X + 4 A = O,

kde A je matice typu (3, 3) z příkladu 3.53 a O je nulová matice stejného typu.

Hledaná matice musí být čtvercová typu (3, 3), jinak by nebylo definováno sčítání. Rovnici postupně

upravíme (dáváme si pozor na to, že nemusí platit komutativní zákon).

A · X − X = −4 A

tj.

A · X − E · X = −4 A

tj.

(A − E) · X = −4 A.

Pokud existuje matice (A − E)−1, pak po pronásobení obou stran rovnice touto maticí zleva dostáváme

X = (A − E)

−1 · (−4 A) = −4 (A − E)−1 · A.

Je tedy potřeba najít inverzní matici k matici A − E (například metodou popsanou v příkladu 3.53).
Nalezenou inverzní matici vynásobíme čtyřmi a nakonec provedeme maticové násobení 4 (A − E)−1 · A
podle definice. Níže uvádíme jednotlivé mezivýpočty:

A − E =

0

2

3

−1

−1

1

2

2

0

,

(A − E)

−1 =

− 1

2

3
2

5
4

1
2

− 3

2

− 3

4

0

1

1
2

,

4 (A − E)

−1 =

−2

6

5

2

−6

−3

0

4

2

,

X = −4 (A − E)

−1 · A = −