Lineární algebra

Zvídavý student se oprávněně ptá, proč tato metoda dává inverzní matici. Než si na to odpovíme,

budeme muset propočítat následující příklad a dokázat dvě následující věty.

3.54. Příklad. Nechť A je matice typu (m, n). Nechť dále P1 je čtvercová matice typu (m, m), která
vznikne z matice E prohozením i-tého řádku s j-tým. Pak matice B = P1 · A je shodná s maticí A až
na to, že má přehozený i-tý řádek s j-tým. Rozmyslete si to sami.

Nechť P2 je čtvercová matice typu (m, m), která vznikne z matice E pronásobením i-tého řádku

číslem α. Pak matice B = P2 · A je shodná s maticí A až na to, že má pronásobený i-tý řádek číslem α.
Ověřte si to sami.

Nechť konečně P3 je čtvercová matice typu (m, m), která vznikne z matice E záměnou jednoho

nulového prvku na zvolené pozici i, j (i 6= j) číslem α. Pak matice B = P2 · A je shodná s maticí A až
na to, že místo i-tého řádku je zde zapsán součet i-tého řádku matice A s α-násobkem j-tého řádku.
Prověřte si to sami.

Z předchozího vidíme, že jednotlivé kroky Gaussovy eliminační metody můžeme „emulovatÿ náso-

bením vhodné čtvercové matice zleva. Následné použití dalších kroků lze „emulovatÿ násobením dalšími
čtvercovými maticemi zleva. Tento poznatek precizuje následující věta.

3.55. Věta. Nechť A ∼ B jsou dvě matice, přičemž v eliminaci označené zde symbolem „∼ÿ nebyl
použit krok vynechání nebo přidání nulového řádku. Pak existuje regulární čtvercová matice P taková,
že B = P · A.

Důkaz. Pro jednotlivé kroky Gaussovy eliminační metody jsme našli odpovídající čtvercové matice
v příkladu 3.54. Vznikla-li matice B po k krocích Gaussovy eliminační metody, pak zřejmě existují
matice C1, C2, . . . , Ck (každá z nich je některého ze tří typů podle příkladu 3.54) takové, že