Lineární algebra

B = Ck · (Ck−1 · · · (C2 · (C1 · A)) · · ·) = (Ck · Ck−1 · · · C2 · C1) · A = P · A.

Zde jsme využili asociativního zákona pro násobení matic z věty 3.38.

Výsledná matice P je regulární, protože všechny matice C1, C2, . . . , Ck jsou regulární (mají lineárně

nezávislé řádky) a součin regulárních matic je regulární podle věty 3.52.

3.56. Věta. Nechť A je regulární a (A|E) ∼ (E|B), kde „∼ÿ označuje konečný počet řádkových úprav
podle eliminační metody a E jednotkovou matici. Pak B = A−1.

Důkaz. Podle věty 3.55 existuje čtvercová matice P taková, že

(A | E) ∼ (E | B) = (P · A | P · E).

Protože P · A = E, je matice P inverzní maticí k matici A. Protože B = P · E, je matice B přímo rovna
matici P, tedy inverzní matici k matici A.

Pozorný čtenář by měl v tuto chvíli namítnout: proč je P inverzní matice k A, když víme pouze,

že P · A = E, ale nevíme, jestli A · P = E ? Tento vzorec ale z existence inverzní matice pro regulární
matici A plyne z prvního. Nechť A−1 je inverzní matice k matici A a nechť platí P · A = E. Vynásobíme
nyní obě strany rovnice maticí A−1 zprava:

(P · A) · A

−1 = E · A−1,

tj.

P · (A · A

−1) = A−1,

tj.

P = A

−1.

3.57. Poznámka. Všimněme si, že metoda hledání inverzních matic, popsaná v příkladu 3.53 a dokázaná
ve větě 3.56 nám mimochodem umožní odpovědět i na otázku, zda vůbec inverzní matice k dané matici A
existuje. Pokud zapíšeme (A|E) a na konci přímého chodu Gaussovy eliminační metody zjistíme, že v poli
vlevo od svislé čáry máme nulový řádek, pak podle věty 3.17 víme, že A je singulární. Věta 3.50 nám
říká, že inverzní matice neexistuje, takže nemá smysl dál počítat.