Lineární algebra

Inverze, ve kterých se nevyskytuje ani a, ani b, zůstávají v obou permutacích stejné. Tvoří-li dvojice

(a, b) z permutace π inverzi, pak (b, a) z permutace π1 inverzi netvoří a naopak. Zatím jsme tedy zjistili,
že se permutace π a π1 liší o jednu inverzi, což je liché číslo. Ještě prozkoumáme všechny inverze, ve
kterých vystupuje a nebo b s nějakým jiným prvkem. Ukážeme, že pokud tam dojde ke změně, pak jedině
o sudý počet inverzí.

Uvažujme nějaký prvek x s menším indexem, než indexy prvků a i b, nějaký prvek y s větším

indexem, než indexy prvků a i b a nějaký prvek z, který má index mezi indexy a a b. Názorně:

π = (. . . , x, . . . , a, . . . , z, . . . , b, . . . , y, . . .),

π1 = (. . . , x, . . . , b, . . . , z, . . . , a, . . . , y, . . .).

Nemusejí v každém případě všechny tyto prvky existovat. Další rozbor tedy provedeme jen tehdy, pokud
příslušný prvek existuje. Zabývejme se nejprve prvky x a y. Případné inverze mezi prvky (x, a), (x, b),
(a, y) a (b, y) zůstanou po prohození prvků a, b v nezměněném stavu. Zajímavý je tedy jen prvek z.

Nechť nejprve a < z < b, tj. v permutaci π netvoří dvojice (a, z) ani (z, b) inverzi. Pak v permutaci

π1 vznikají dvě nové inverze (b, z) a (z, a), a to je sudé číslo. Nechť dále b < z < a, pak v permutaci
π máme dvě inverze, které v permutaci π1 zanikají. Proběhla rovněž změna o sudý počet inverzí. Ještě
může dojít k situaci z < a a z < b. Pak v permutaci π dvojice (a, z) tvoří inverzi a dvojice (z, b) netvoří,
zatímco v permutaci π1 dvojice (b, z) tvoří inverzi a dvojice (z, a) netvoří. Počet inverzí se tedy v tomto
případě nezměnil. Poslední případ a < z a b < z ověříme podobně, jako předchozí.