Lineární algebra

4.16. Poznámka. Je možné, že vzorec z definice 4.15 je pro některé čtenáře málo srozumitelný. Pokusíme
se jej proto v této poznámce trochu vysvětlit a zlidštit.

Představme si čtvercovou matici jako šachovnici rozměru n × n a pokusme se na ni rozmístit n

šachových věží tak, aby se vzájemně neohrožovaly. Podle poznámky 4.11, odst. (3) je možné každé
takové rozmístění popsat jednou permutací (pozice věží čteme po řádcích). Podle věty 4.3 vidíme, že
existuje n! různých permutací, tedy existuje n! různých řešení této šachové úlohy. Pokusme se pro každé
řešení této úlohy zapsat odpovídající permutaci, zjistit znaménko této permutace, nadzvednout věžičky
a zapsat si hodnoty prvků, na kterých ty figurky stojí, vynásobit tyto hodnoty mezi sebou a výsledek
ještě násobit znaménkem permutace. Pak si tento výsledek uložíme do paměti. Až projdeme všech n!
možností rozmístění věží, získáme v paměti n! sčítanců a ty sečteme. Výsledkem je determinant matice.

43

Lineární algebra

4. Determinant

4.17. Příklad. Hledejme determinant matice typu (3, 3) tvaru

A =

a1,1

a1,2

a1,3

a2,1

a2,2

a2,3

a3,1

a3,2

a3,3

.

Podle vzorce z definice 4.15 budeme sčítat přes všechny permutace tří prvků. Těch je podle věty 4.3
3! = 6. Zapíšeme všechny tyto permutace, jejich znaménka a odpovídající rozmístění „šachových věžíÿ.

π = (1, 2, 3),

sgn π = +1,

a1,1

 a1,2 a1,3

a2,1

a2,2

 a2,3

a3,1

a3,2

a3,3

,

sčítanec:

+ a1,1 · a2,2 · a3,3.

π = (2, 3, 1),

sgn π = +1,

a1,1

a1,2

 a1,3

a2,1

a2,2

a2,3

a3,1

 a3,2 a3,3

,

sčítanec:

+ a1,2 · a2,3 · a3,1.

π = (3, 1, 2),

sgn π = +1,

a1,1

a1,2

a1,3

a2,1

 a2,2 a2,3

a3,1

a3,2

 a3,3

,

sčítanec:

+ a1,3 · a2,1 · a3,2.

π = (3, 2, 1),

sgn π = −1,

a1,1

a1,2

a1,3

a2,1

a2,2

 a2,3

a3,1