Lineární algebra

46

Lineární algebra

4. Determinant

4.24. Příklad. Jednotková matice má determinant roven jedné. Jednotková matice je totiž tvaru (4.2),
takže stačí pronásobit prvky na diagonále.

4.25. Příklad. Nechť A je matice typu (n, n), která má prvky na vedlejší diagonále rovny jedné a ostatní
prvky jsou nulové. Spočítáme její determinant.

Prohodíme první řádek s posledním, druhý s předposledním atd. až se dostaneme k prostřednímu

řádku. Pro liché n necháváme prostřední řádek na místě, pro sudé n prohodíme naposled mezi sebou
řádky n/2 a n/2 + 1. V obou případech jsme udělali [n/2] prohození (symbolem [x] zde značíme celou
část z x). Matici A jsme těmito úpravami převedli na jednotkovou matici E. Podle předchozího příkladu
je det E = 1, takže podle vlastnosti (V1) z věty 4.21 je det A = (−1)[n/2] det E = (−1)[n/2].

4.26. Příklad. Nechť A je matice typu (n, n), která má nad vedlejší diagonálou nulové prvky. Spočítáme
její determinant.

Prohazováním řádků, stejně jako v předchozím příkladě, převedeme matici na tvar (4.2). Prvky z ve-

dlejší diagonály se při těchto úpravách přestěhují na hlavní diagonálu. Determinant takto upravené matice
je podle příkladu 4.20 roven součinu prvků na diagonále, takže máme det A = (−1)[n/2]a1,n a2,n−1 · · · an,1.

4.27. Věta. Čtvercová matice A je regulární právě tehdy, když det A 6= 0.

Důkaz. Všimneme si nejprve, že Gaussova eliminační metoda realizovaná kroky (V1), (V3) a (V5) podle
předchozí věty 4.21 nemění „nulovostÿ determinantu. Přesněji, je-li A ∼ B, pak det A 6= 0 právě tehdy
když det B 6= 0.

Je-li matice A regulární (hod A = n), pak po úpravě Gaussovou eliminační metodou na matici B