Lineární algebra

Základní
vlastnosti

4.21. Věta. Základní vlastnosti determinantu.

(V1) Jestliže se matice B liší od matice A jen prohozením jedné dvojice řádků, pak det B = − det A.

(V2) Jestliže matice A má dva stejné řádky, pak det A = 0.

V dalších vlastnostech (V3) až (V5) označujeme symbolem

..

.

ai

..

.

matice, které se liší pouze v i-tém

řádku, zde označeném ai. V řádcích, které jsou vyznačeny tečkami, se jednotlivé matice shodují.

(V3)

det

..

.

α ai

..

.

= α det

..

.

ai

..

.

.

(V4)

det

..

.

ai

..

.

+ det

..

.

bi

..

.

= det

..

.

ai + bi

..

.

.

(V5)

det

..

.

ai + α aj

..

.

= det

..

.

ai

..

.

,

kde aj je nějaký jiný řádek téže matice.

Důkaz. (V1) Součin a1,i

1 · · · an,in

odpovídá ve vzorci pro výpočet det A permutaci π = (i1, i2, . . . , in).

Tentýž součin najdeme i ve vzorci pro výpočet det B, pouze bude odpovídat permutaci π0, která vznikne
z permutace π přehozením dvou prvků. To podle věty 4.9 znamená, že sgn π0 = − sgn π. V každém z n!
sčítanců pro výpočet det B tedy máme opačné znaménko, než ve sčítancích pro výpočet det A. Musí
tedy být det B = − det A.

(V2) Prohodíme-li v matici A mezi sebou dva stejné řádky, dostáváme zase matici A. Podle (V1)

pro tuto matici platí det A = − det A, což nemůže být splněno jinak, než že det A = 0.

Vlastnosti (V3) a (V4) plynou přímo z definice determinantu:

(V3)

X

sgn π a1,j

1 a2,j2 · · · (α ai,ji ) ai+1,ji+1 · · · an,jn = α

X

sgn π a1,j

1 a2,j2 · · · ai,ji ai+1,ji+1 · · · an,jn .

(V4)

X

sgn π a1,j

1 a2,j2 · · · (ai,ji + bi,ji ) ai+1,ji+1 · · · an,jn =

=

X

sgn π a1,j

1 a2,j2 · · · ai,ji ai+1,ji+1 · · · an,jn +