Lineární algebra

sgn π = −1,

a1,1

a1,2

a2,1

 a2,2

,

det A = a1,1 · a2,2 − a1,2 · a2,1.

Pro úplnost uvedeme ještě hodnotu determinantu matice A = (a1,1) typu (1, 1). Zřejmě je det A = a1,1.

4.19. Definice. Nechť A = (ai,j) je matice typu (n, n). Hlavní diagonála matice A je skupina jejích
prvků a1,1, a2,2, . . . , an,n. Vedlejší diagonála matice A zahrnuje prvky a1,n, a2,n−1, . . . , an,1. Prvek pod
hlavní diagonálou je každý prvek ai,j, pro který platí i > j. Prvek nad hlavní diagonálou je každý prvek
ai,j, pro který platí i < j.

44

Lineární algebra

4. Determinant

4.20. Příklad. Nechť matice A typu (n, n) má pod hlavní diagonálou jen nulové prvky. Matice tedy
názorně vypadá takto:

A =

a1,1,

a1,2,

. . . ,

a1,n−1,

a1,n

0,

a2,2,

. . . ,

a2,n−1,

a2,n

0,

0,

. . . ,

a3,n−1,

a3,n

..

.

0,

0,

. . . ,

0,

an,n

.

(4.2)

Zkusíme spočítat det A.

V definici determinantu 4.15 se pracuje se součtem součinů sgn π · a1,i

1 · a2,i2 · · · an,in . Pokud aspoň

jeden z těchto činitelů je nulový, je nulový celý součin. V celkovém součtu nás zajímají jen nenulové
součiny. Prozkoumejme, které to jsou. Z posledního řádku musíme vzít jen prvek an,n, protože všechny
ostatní prvky v posledním řádku jsou nulové. Z předposledního řádku můžeme vzít jen prvek an−1,n−1,
protože ostatní jsou nulové. Prvek an−1,n nelze do součinu zahrnout, protože z posledního sloupce už
v součinu máme prvek an,n (věže by se vzájemně ohrožovaly). Analogickou úvahou zahrneme do součinu
prvky an−2,n−2, . . . , a2,2, a1,1. Není tedy jiná možnost nenulového součinu, než součin a1,1 · a2,2 · · · an,n.
Ten odpovídá permutaci (1, 2, . . . , n), která nemá žádnou inverzi a její znaménko je tedy +1. Ostatní
sčítanci z definice determinantu jsou nuloví. Proto det A = a1,1 · a2,2 · a3,3 · · · an,n.