Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Kdybychom chtěli zapsat všechny permutace 50 prvků, po použití věty 4.3 bychom si to rychle rozmysleli.
Těch permutací totiž je přibližně 3 · 1064. Kdyby se nám na jeden řádek vešla jedna permutace a na
stránku 60 řádků, spotřebovali bychom 5 · 1062 stránek. Při oboustranném tisku váží 500 stránek asi
jeden kilogram, takže bychom spotřebovali 1057 tun papíru. Kdyby tisk jedné stránky trval vteřinu,
strávili bychom u tiskárny zhruba 1055 let. Jistě uznáte, že to daleko přesahuje veškeré lidské možnosti.
41
Lineární algebra
4. Determinant
4.5. Definice. Nechť (i1, i2, . . . , in) je permutace n prvků. Inverze této permutace je taková dvojice
(ik, il), pro které platí ik > il, a přitom k < l.
4.6. Příklad. Permutace (1, 2, 3) nemá žádnou inverzi. Permutace (1, 3, 2) má jednu inverzi, totiž dvojici
(3, 2), pro kterou platí 3 > 2. Jednotlivé inverze jsou na následujících permutacích vyznačeny obloučkem
(1, 2, 3),
(1,
z {
3, 2),
(
z {
2, 1, 3),
(
z
{
2,
z {
3, 1),
(
z
{
z {
3, 1, 2),
(
z
{
z {
3, 2,
z{
1).
Jako cvičení doplňte obloučky (tj. jednotlivé inverze) ke všem permutacím čtyř prvků.
Znaménko
permutace
4.7. Definice. Pro každou permutaci π = (i1, . . . , in) definujeme znaménko permutace sgn π takto:
sgn π =
+1
má-li π sudý počet inverzí
−1
má-li π lichý počet inverzí
4.8. Příklad. Permutace z příkladu 4.6 mají tato znaménka:
sgn(1, 2, 3) = +1,
sgn(1, 3, 2) = −1,
sgn(2, 1, 3) = −1,
sgn(2, 3, 1) = +1,
sgn(3, 1, 2) = +1,
sgn(3, 2, 1) = −1.
Jako cvičení si rozmyslete, jak vypadají znaménka všech permutací čtyř prvků.
4.9. Věta. Prohození jediné dvojice prvků v permutaci způsobí změnu jejího znaménka.
Důkaz. Nechť π = (. . . , a, . . . , b, . . .) a π1 = (. . . , b, . . . , a, . . .) jsou dvě permutace, které se liší jen
prohozením prvků a, b. Ukážeme, že rozdíl počtu inverzí permutací π a π1 je liché číslo.