Lineární algebra

Součin de-
terminantů

4.35. Věta (Laplaceova). Nechť A, B jsou čtvercové matice. Pak det A det B = det(A · B).

Důkaz (pro hloubavé čtenáře). Uvědomíme si, že lze matici A převést pouze řádkovými úpravami na
matici A0, která je tvaru (4.2). Navíc můžeme provádět pouze takové úpravy, které nemění determinant:
přičítání násobku jiného řádku k řádku podle (V5) věty 4.21 nemění determinant a pokud potřebujeme
prohodit řádky, pak okamžitě pronásobíme jeden z nich konstantou −1. Tyto operace skutečně stačí na
převedení matice na tvar (4.2), a přitom máme zaručeno, že det A = det A0. Podle věty 3.55 existuje
čtvercová matice P, pro kterou platí

A

0 = P · A.

Dále převedeme matici B na matici B0 tvaru (4.2) pouze sloupcovými úpravami takovými, které nemění
determinant. Máme tedy det B = det B0 a navíc podle poznámky 3.58 existuje matice Q taková, že

B

0 = B · Q.

Platí

det A det B = det A

0 det B0 = det(A0 · B0).

Poslední rovnost ověříme z definice maticového násobení a využijeme toho, že obě matice A0 i B0 jsou
tvaru (4.2). Matice A0 · B0 je také tvaru (4.2) a pro její diagonální prvky gi,i platí, že gi,i = a

0
i,i b

0
i,i.

Protože se determinanty matic tvaru (4.2) počítají jako součin prvků na diagonále, máme skutečně
det A0 det B0 = det(A0 · B0).

Na matici A · B provedeme stejné řádkové a sloupcové úpravy, jako jsme provedli na matice A

resp. B. Dostaneme matici A0 · B0, protože

P · (A · B) · Q = (P · A) · (B · Q) = A

0 · B0.

Provedené řádkové a sloupcové úpravy nemění determinant, takže matice A0 · B0 má stejný determinant
jako matice A · B. Dostáváme výsledek