Lineární algebra

hod

 AT

bT

= hod A

T .

Protože platí věta 3.31, je Frobeniova věta dokázána.

5.5. Poznámka. V úvodní kapitole o Gaussově eliminační metodě jsme vlastně nevědomky vyslovili
Frobeniovu větu. V této kapitole jsme si říkali, jak poznáme, že soustava má řešení. Mluvili jsme tam
o tom, že soustava nemá řešení právě tehdy, když poslední řádek rozšířené matice soustavy po eliminaci
je tvaru

(0

0

· · ·

0 | c),

c 6= 0.

Vzpomeneme-li si na metodu počítání hodnosti z příkladu 3.14, vidíme, že existence takového řádku
je ekvivalentní s tím, že rozšířená matice soustavy má o jedničku větší hodnost, než matice soustavy.
Uvědomíme si ještě, že hodnost rozšířené matice soustavy může být buď o jedničku větší nebo přímo
rovna hodnosti matice soustavy. Žádná jiná možnost pro hodnosti těchto matic neexistuje.

5.6. Definice. Nechť A x = b je soustava m lineárních rovnic o n neznámých a C x = d je soustava k
lineárních rovnic o stejném počtu n neznámých. Říkáme, že tyto soustavy jsou ekvivalentní, pokud obě
soustavy mají stejné množiny řešení.

51

Lineární algebra

5. Soustavy lineárních rovnic

Princip
eliminační
metody

5.7. Poznámka. Gaussova eliminační metoda řešení soustav lineárních rovnic popsaná v úvodní kapitole
spočívá vlastně v převedení soustavy A x = b na soustavu C x = d, která je s původní soustavou rovnic
ekvivalentní. Přitom řešení soustavy C x = d lze nalézt snadněji, protože C je horní trojúhelníková
matice (srovnejte větu 3.23). Tuto skutečnost zaznamenáme do následující věty.

5.8. Věta. Ke každé soustavě A x = b lze nalézt ekvivalentní soustavu C x = d, jejíž matice C je horní
trojúhelníková.

Důkaz. Podle věty 3.23 lze nalézt (C|d) takovou, že (A|b) ∼ (C|d), a přitom C je horní trojúhelníková
matice. Protože operace „∼ÿ zde označuje konečně mnoho elementárních kroků Gaussovy eliminační
metody, a protože jsme si řekli v úvodní kapitole, že tyto elementární kroky nemění množinu řešení
odpovídající soustavy, je soustava C x = d ekvivalentní s původní soustavou A x = b.