Lineární algebra

Důkaz. Vektory u1, u2, . . . , uk najdeme analogicky, jako jsme to udělali v příkladu 5.11. Podle po-
známky 3.24 je počet rovnic soustavy po eliminaci roven hod A a je roven počtu neznámých, které
můžeme z rovnic vypočítat. Ostatních k = n − hod A neznámých xi

1 , xi2 , . . . , xik

může nabývat libo-

volných hodnot a zaveďme pro ně parametry xi

1

= p1, xi

2

= p2, . . . , xi

k

= pk. Všechna řešení získáme

například dosazovací metodou použitou na rovnice po eliminaci (začínáme poslední rovnicí a končíme
první). Z tohoto řešení můžeme vytknout parametry:

(x1, x2, . . . , xn) = p1 u1 + p2 u2 + · · · + pk uk

(5.2)

a dostáváme hledané vektory u1, u2, . . . , uk. Z uvedené rovnosti a z definice lineárního obalu 2.29 přímo
plyne, že pro množinu všech řešení platí M0 = hu1, u2, . . . , uki.

Zbývá dokázat, že vektory u1, u2, . . . , uk jsou lineárně nezávislé. Označme u

0

1 ∈ R

k , u0

2 ∈ R

k , . . . ,

u0

k ∈ R

k ty části vektorů u1, u2, . . . , uk, které obsahují jen složky i1, i2, . . . , ik. Protože platí rovnost (5.2)

a také platí označení xi

1 = p1 , xi2 = p2 , . . . , xik = pk , dostáváme

u

0
1 = (1, 0, 0, . . . , 0),

u

0
2 = (0, 1, 0, . . . , 0),

. . . ,

u

0
k = (0, 0, 0, . . . , 1).

Toto jsou lineárně nezávislé vektory. Z toho plyne, že jsou lineárně nezávislé i vektory u1, u2, . . . , uk,
protože u0

1, u

0

2, . . . , u

0
k jsou jejich části.

Závěrečné tvrzení věty, že vektory u1, u2, . . . , uk tvoří bázi prostoru řešení homogenní soustavy,