Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
podobně. Použili bychom větu o rozvoji i-tého sloupce namísto řádku.
4.38. Věta. Nechť A je regulární matice. Pak det A−1 = 1/ det A.
Důkaz. Důkaz jsme vlastně už provedli v první části důkazu předchozí věty. Zopakujeme si to. Protože
E = A · A−1, musí podle věty 4.35 být 1 = det E = det A det A−1. Z toho přímo plyne dokazovaný
vzorec.
4.39. Poznámka. Důkaz věty 4.37 nám dává návod, jak sestrojit inverzní matici k matici A. Je to vlastně
vedle eliminační metody popsané v příkladu 3.53 další metoda hledání inverzní matice. Můžeme ji říkat
„metoda hledání inverzní matice pomocí doplňkůÿ. Uvědomíme si ale, že pro velké matice je eliminační
metoda podstatně účelnější než metoda pomocí doplňků, která vyžaduje spočítat n2 determinantů matic
typu (n − 1, n − 1) a ještě spočítat det A. V následujících příkladech si proto tuto metodu ilustrujeme
jen na malých maticích.
4.40. Příklad. Najdeme inverzní matici k matici
A =
a
b
c
d
.
Označme B matici doplňků k matici A. V tomto případě se doplňky dobře počítají, protože se jedná
o determinanty matic typu (1, 1):
B =
d
−c
−b
a
,
A
−1 =
1
det A
B
T =
1
ad − bc
d
−b
−c
a
.
4.41. Příklad. Najdeme inverzní matici ke stejné matici, jako v příkladu 3.53, tj. k matici
A =
1
2
3
−1
0
1
2
2
1
.
Doplňky nyní budeme počítat z determinantů matic typu (2, 2), což už nám dá trochu práce.
B =
+
0
1
2
1
−
−1
1
2
1
+
−1
0
2
2
−
2
3
2
1
+
1
3
2
1
−
1
2
2
2
+
2
3
0
1
−
1
3
−1
1
+
1
2
−1
0
=
−2
3
−2
4
−5
2
2
−4
2
,
det A = −2,
A
−1 =
1
det A
B
T = −
1
2
−2
4
2
3
−5
−4
−2
2
2
.
Výsledek můžeme srovnat s výsledkem v příkladu 3.53.
50
5. Soustavy lineárních rovnic
5.1. Definice. Nechť A je matice reálných čísel typu (m, n), nechť dále x je jednosloupcová matice