Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Kdybychom opakovaně prováděli rozvoj vzniklých determinantů podle řádku nebo sloupce, mohli
bychom dojít až k maticím typu (1,1), u kterých je determinant přímo roven hodnotě prvku dané matice.
Programátory může napadnout, že lze tedy větu o rozvoji determinantu využít při implementaci výpočtu
determinantu rekurzivním algoritmem. Ovšem pozor ! Tento algoritmus potřebuje zcela stejné množství
operací, jako při výpočtu determinantu přímo z definice. Jak už jsme si uváděli, při matici typu (50, 50) se
jedná zhruba o 1064 operací. Prakticky to znamená, že bychom se pravděpodobně výsledku nedočkali za
celou dobu předpokládané existence naší sluneční soustavy a kdo ví, jestli by se dříve nezhroutil vesmír.
Můžete namítnout, k čemu že je metoda rozvoje determinantu dobrá? Pokud se v nějakém řádku
nebo sloupci matice vyskytuje mnoho nul, můžeme zmenšit velikost matic, ze kterých počítáme deter-
minant. Je-li na řádku nebo sloupci jediný nenulový prvek, dostáváme jedinou matici o jeden řádek a
48
Lineární algebra
4. Determinant
sloupec menší. V příkladu 4.23 jsme mohli například před provedením kroku (2) provést rozvoj determi-
nantu podle prvního sloupce a dále pracovat jen s maticí typu (3, 3). Před krokem (4) jsme mohli znovu
provést rozvoj determinantu podle prvního sloupce:
1
2
4
−1
2
1
2
2
1
3
1
2
2
1
2
1
=
1
2
4
−1
0
−3
−6
4
0
1
−3
3
0
−3
−6
3
= 1 ·
−3
−6
4
1
−3
3
−3
−6
3
= −
1
−3
3
−3
−6
4
−3
−6
3
=
= −
1
−3
3
0
−15
13
0
−15
12
= −1 ·
−15
13
−15
12
= 15 · 12 − 15 · 13 = −15.
Výhoda se projeví výrazněji, pokud například čísla v prvním řádku či sloupci jsou nesoudělná a je
výhodnější začít vyrábět nuly v jiném řádku nebo sloupci. Eliminační metodou v něm vytvoříme nuly a
pak provedeme podle tohoto řádku nebo sloupce rozvoj determinantu.