Lineární algebra

Řešení ho-
mogenní
soustavy

5.9. Definice. Existuje-li v matici b aspoň jeden prvek nenulový, říkáme, že je soustava lineárních rovnic
A x = b nehomogenní. Jsou-li všechny prvky v matici b nulové, nazýváme soustavu rovnic homogenní a
zapisujeme ji takto:

A x = o

(symbolem o nyní značíme jednosloupcovou nulovou matici).

5.10. Věta. Množina všech řešení homogenní soustavy A x = o s n neznámými tvoří lineární podprostor
lineárního prostoru Rn.

Důkaz. Především množina řešení homogenní soustavy je neprázdná, protože nulový vektor v Rn je
samozřejmě řešením této soustavy.

Podle definice 1.17 musíme dále dokázat: (1) jsou-li u ∈ Rn a v ∈ Rn řešení soustavy A x = o, pak

též u + v je řešením stejné soustavy. (2) je-li u ∈ Rn řešením soustavy A x = o a α ∈ R, pak též α u
je řešením stejné soustavy. Pro účely důkazu označme symbolem uT jednosloupcovou matici, jejíž prvky
odpovídají složkám vektoru u. Podobně vT je sloupec vzniklý z vektoru v.

Protože u a v jsou řešení soustavy A x = o, platí: A uT = o a A vT = o. Máme dokázat, že

A (uT + vT ) = o a A (α uT ) = o. Podle věty 3.38 je

A (u

T + vT ) = A uT + A vT = o + o = o,

A (α u

T ) = α A uT = α o = o.

5.11. Příklad. Najdeme množinu všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic se šesti neznámými:

x1 + x2 + 2x3 + 3x4 + 3x5 + 3x6 = 0
x1 + x2 + x3 + 3x4 + x5 + x6 = 0

2x1 + 2x2 + 2x3 + 6x4 + 2x5 + 8x6 = 0

Eliminujeme matici soustavy (vektor pravých stran je nulový, takže je zbytečné jej psát).

1 1 2 3 3 3
1 1 1 3 1 1
2 2 2 6 2 8