Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Důkaz. Matice A · B je čtvercová typu (n, n). To plyne přímo z definice maticového součinu. Stačí
tedy dokázat, že je regulární. Podle věty 3.50 je matice regulární právě tehdy, když k ní existuje inverzní
matice. Podle předpokladu k matici A existuje inverzní matice A−1 a k matici B existuje inverzní matice
B−1. Stačí ukázat, že existuje inverzní matice k matici A · B. Hledaná inverzní matice je tvaru B−1 · A−1,
protože:
(B
−1 · A−1) · (A · B) = B−1 · (A−1 · A) · B = B−1 · E · B = B−1 · B = E,
(A · B) · (B
−1 · A−1) = A · (B · B−1) · A−1 = A · E · A−1 = A · A−1 = E.
Výpočet in-
verzní mati-
ce eliminací
3.53. Příklad. Nejprve na jednoduchém příkladu ukážeme obvyklý postup hledání inverzní matice
k dané matici A. Teprve pak dokážeme, že tento postup je oprávněný a vždy vede k inverzní matici.
Naším úkolem bude najít inverzní matici k matici
A =
1
2
3
−1
0
1
2
2
1
.
Vedle prvků matice A napíšeme prvky jednotkové matice stejného typu (oddělíme od sebe pro přehlednost
svislou čarou) a dále použijeme řádkové úpravy Gaussovy eliminační metody na matici (A|E) jako celek.
To znamená, že pracujeme s řádky délky 2n, v našem konkrétním případě s řádky o šesti prvcích.
Při eliminaci se snažíme vlevo od svislé čáry dostat postupně jednotkovou matici.
1
2
3
1
0
0
−1
0
1
0
1
0
2
2
1
0
0
1
∼
1
2
3
1
0
0
0
2
4
1
1
0
0
−2
−5
−2
0
1
∼
1
2
3
1
0
0
0
2
4
1
1
0
0
0
1
1
−1
−1
∼
∼
1
2
0
−2
3
3
0
2
0
−3
5
4
0
0
1
1
−1
−1
∼
1
0
0
1
−2
−1
0
1
0
− 3
2
5
2
2
0
0
1
1
−1
−1
,
A
−1 =
1
−2
−1
− 3
2
5
2
2
1
−1
−1
.
38
Lineární algebra
3. Matice
Tvrdíme, že hledaná inverzní matice k matici A je zapsána vpravo od svislé čáry v poslední úpravě. Přes-
něji, pokud (A|E) ∼ (E|B), kde „∼ÿ znamená konečně mnoho řádkových úprav matice podle Gaussovy
eliminační metody, pak B = A−1.