Lineární algebra

Komutující
matice

3.40. Příklad. Nechť je dána čtercová matice A typu (n, n). Pokud matice B splňuje rovnost A · B =
B · A, říkáme, že matice B komutuje s maticí A. Ukážeme, že množina všech komutujících matic s danou
maticí A tvoří lineární podprostor lineárního prostoru všech matic typu (n, n).

Především každá taková matice B musí mít stejný počet řádků jako matice A sloupců (aby bylo

definováno A · B) a také musí mít stejný počet sloupců jako matice A řádků (aby bylo definováno B · A).
To prakticky znamená, že matice B musí být také čtvercová, typu (n, n).

Podle definice 1.17 stačí ukázat, že pokud jsou B a C komutující matice s maticí A a α ∈ R, pak

též B + C a α B jsou komutující matice. Předpokládejme tedy, že platí A · B = B · A, A · C = C · A.
V následujícím výpočtu použijeme věty 3.38, vzorce (2) až (4) a našeho předpokladu.

A · (B + C) = A · B + A · C = B · A + C · A = (B + C) · A,

A · (α B) = α (A · B) = α (B · A) = (α B) · A.

3.41. Příklad. Najdeme bázi a dimenzi lineárního podprostoru M všech matic komutujících s maticí

A =

 1 2

3

4

.

Podle předchozího příkladu musejí být matice komutující s maticí A rovněž typu (2, 2). Předpokládejme,
že matice B lze zapsat ve tvaru

B =

 a

b

c

d

.

Jednotlivé součiny pak vypadají následovně

 a

b

c

d

·

 1 2

3

4

=

 a + 3b 2a + 4b

c + 3d

2c + 4d

,

 1 2

3

4

·

 a

b

c

d

=

 a + 2c

b + 2d

3a + 4c

3b + 4d

.

Tyto součiny se mají rovnat. Podle poznámky 3.2 se dvě matice rovnají, pokud se vzájemně rovnají
všechny jejich odpovídající prvky. To nás vede ke čtyřem rovnicím o čtyřech neznámých, které upravíme
Gaussovou elmininační metodou.