Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
(1)
(A · B) · C = A · (B · C)
(asociativní zákon),
(2)
(A + B) · C = A · C + B · C
(distributivní zákon),
(3)
C · (A + B) = C · A + C · B
(distributivní zákon),
(4)
α(A · B) = (α A) · B = A · (α B),
(5)
(A · B)
T = BT · AT .
Důkaz. Jako cvičení doplňte ke každému vzorci věty předpoklady o typech matic. Tyto předpoklady se
budou pro různé vzorce lišit. V tomto důkazu předpokládáme typy matic (m, n), (n, p) a (p, q).
(1) Označme A = (ai,j), B = (bj,k), C = (ck,l), A · B = (di,k), B · C = (fj,l), (A · B) · C = (gi,l),
A · (B · C) = (hi,l) pro i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}, k ∈ {1, . . . , p}, l ∈ {1, . . . , q}. Jde o to ukázat, že
gi,l = hi,l pro všechna i ∈ {1, . . . , m} a l ∈ {1, . . . , q}. Podle definice 3.34 je
di,k =
n
X
j=1
ai,j bj,k,
fj,l =
p
X
k=1
bj,k ck,l,
takže platí
gi,l =
p
X
k=1
di,k ck,l =
p
X
k=1
n
X
j=1
ai,j bj,k
!
ck,l =
p
X
k=1
n
X
j=1
ai,j bj,k ck,l
!
= X,
hi,l =
n
X
j=1
ai,j fj,l =
n
X
j=1
ai,j
p
X
k=1
bj,k ck,l
!
=
n
X
j=1
p
X
k=1
ai,j bj,k ck,l
!
= Y.
Vysvětlíme si, proč platí X = Y . Volme i, l pevná. Součiny ai,j · bj,k · ck,l můžeme zapsat do tabulky, ve
které index j odpovídá řádku tabulky a index k sloupci. Hodnota X pak znamená součet sloupcových
mezisoučtů v tabulce a hodnota Y součet řádkových mezisoučtů. Každá účetní ví, že obě hodnoty musí
dát stejný výsledek. My ostatní to snadno nahlédneme.
(2) Označme A = (ai,j), B = (bi,j), C = (cj,k), (A+B)·C = (di,k) pro i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n},