Lineární algebra

3.21. Definice. Nechť matice A má řádky a1, a2, . . . , an a nechť žádný z nich není nulový. Nechť pro
každé dva po sobě jdoucí řádky ai, ai+1 platí: má-li řádek ai prvních k složek nulových, musí mít řádek
ai+1 aspoň prvních k + 1 složek nulových. Pak matici A nazýváme horní trojúhelníkovou maticí.

3.22. Věta. Horní trojúhelníková matice má vždy lineárně nezávislé řádky.

Důkaz. Lineární nezávislost ověříme z definice. Nechť matice A má řádky a1, a2, . . . , an a položme

α1 a1 + α2 a2 + · · · + αn an = o.

Po převedení této rovnosti do soustavy rovnic odpovídají koeficienty jednotlivých rovnic sloupcům ma-
tice A. Přitom tato soustava má vždy pouze triviální řešení. Z první nenulové rovnice totiž okamžitě
plyne, že α1 = 0. Dosazením tohoto výsledku do ostatních rovnic dostaneme z některé z následujících
rovnic výsledek α2 = 0. Znovu dosadíme. Tento postup opakujeme tak dlouho, dokud nedostaneme
αi = 0 ∀i ∈ {1, . . . , n}.

32

Lineární algebra

3. Matice

3.23. Věta. Každou matici lze převést konečným počtem kroků Gaussovy eliminační metody na horní
trojúhleníkovou matici.

Důkaz. Plyne z popisu přímého chodu Gaussovy eliminační metody.

3.24. Poznámka. Tato věta nám společně s větou 3.13 dává záruky, že hodnost libovolné matice můžeme
spočítat postupem, jaký jsme zvolili v příkladu 3.14.

3.25. Poznámka. Je zřejmé, že matice, která vznikne z horní trojúhelníkové matice přehozením ně-
kterých sloupců, má také lineárně nezávislé řádky. Nemusíme tedy nutně při hledání hodnosti matice
vytvářet v jednotlivých etapách Gaussovy eliminační metody nulové prvky v těsně následujících sloup-
cích. Je-li to z nějakých důvodů výhodné, můžeme nejprve třeba vytvořit nuly pod prvním řádkem
v osmém sloupci, pak opíšeme první a druhý řádek a vytváříme nuly ve třetím sloupci atd. Tento sofisti-
kovanější postup doporučujeme ale použít jen tehdy, když jste důkladně seznámeni s klasickým postupem
přímého chodu Gaussovy eliminační metody. Jinak může velmi snadno dojít k omylům.