Lineární algebra

(2) Toto tvzení je ekvivalentní s tvrzením (1).
(3) Nechť nejprve M je lineárně nezávislá. Kdyby hM i 6= L, pak lze přidat do množiny M vektor

x 6∈ hM i, a přitom podle věty 2.39 zůstane rozšířená množina lineárně nezávislá. To ale podle (1) není
možné. Musí tedy hM i = L. Předpokládejme nyní, že M je lineárně závislá. Kdyby hM i = L, pak podle
věty 2.51 existuje báze B ⊆ M , a přitom B bude mít méně prvků než množina M (protože M je lineárně
závislá). To podle věty 2.59 není možné, neboť každá báze má n prvků. Musí tedy hM i 6= L.

2.65. Poznámka. Uvědomíme si význam této věty. Báze je podle (1) nejpočetnější lineárně nezávislá
množina. Dále podle (3) každá lineárně nezávislá množina, která má počet prvků rovný konečné dimenzi,
je bází.

2.66. Příklad. Množina {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 2)} je bází lineárního prostoru R3, protože je lineárně
nezávislá a její počet prvků je roven dim R3. Stačí použít větu 2.64, vlastnost (3) a nemusíme pracně
ověřovat z definice, že lineární obal této množiny pokrývá celé R3.

29

3. Matice

S pojmem matice jako s tabulkou čísel jsme se už seznámili v úvodu do Gaussovy eliminační metody.

Nyní si definujeme pojem matice přesněji.

Definice
matice

3.1. Definice. Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z Rn. Jednotlivé složky této m-tice
nazýváme řádky matice. Nechť ar = (ar,1, ar,2, . . . , ar,n) je r-tý řádek matice typu (m, n). s-tá složka
tohoto řádku ar,s ∈ R se nazývá (r, s)-tý prvek matice. Řádky matice A zapisujeme jako skutečné řádky
pod sebe takto:

A =

a1,1,

a1,2,

. . . ,

a1,n

a2,1,

a2,2,