Lineární algebra

p(x) = an x

n + · · · + a

1 x + a0

∀x ∈ R.

Existuje tedy konečná podmnožina K ⊆ B, K = {1, x, x2, . . . , xn} taková, že p je lineární kombinací
prvků z K (koeficienty této lineární kombinace jsou čísla a0, a1, . . . , an). Z toho plyne, že p ∈ hBi.

2.48. Příklad. Uvažujme lineární prostor P≤n všech polynomů nejvýše n-tého stupně z příkladu 1.19.
Ukážeme, že množina Bn = {1, x, x

2, . . . , xn} tvoří bázi lineárního prostoru P≤n.

Předně, Bn je lineárně nezávislá, protože je podmnožinou lineárně nezávislé množiny B z pří-

kladu 2.47 (každá podmnožina lineárně nezávislé množiny je podle poznámky 2.27 lineárně nezávislá).
Analogicky jako v příkladu 2.47 lze ukázat, že hBni = P≤n.

2.49. Příklad. Vraťme se k lineárnímu prostoru UO všech orientovaných úseček se společným počát-
kem. Podle (5) z příkladu 2.24 je každá lineárně nezávislá množina vektorů {u, v, w} bází lineárního
prostoru UO.

Existenece a
jednoznač-
nost báze

2.50. Poznámka. O existenci a jednoznačnosti báze. Příklad 2.45 ilustroval skutečnost, že báze lineár-
ního (pod)prostoru není určena jednoznačně. Lineární (pod)prostor může mít dokonce nekonečně mnoho
bází.

Následující věta dokládá, že každý lineární prostor má bázi. Výjimkou je pouze triviální lineární

prostor L = {o}, který jediný nemá bázi (někteří autoři uvádějí prázdnou množinu jako bázi triviálního
lineárního prostoru, ovšem k tomu je potřeba mírně modifikovat definici lineárního obalu). Následující
věta dokonce tvrdí, že každou lineárně nezávislou množinu lze doplnit přidáním případně dalších prvků
na bázi a naopak, z každé množiny M , pro kterou hM i = L, lze případně odebrat nějaké prvky tak,
aby zbylá množina tvořila bázi. Větu bohužel nebudeme dokazovat, protože vyžaduje použití hlubších
poznatků z teorie množin (tzv. Zornovo lemma), které v tuto chvíli nemáme k dispozici.