Lineární algebra

Vidíme tedy, že z ∈ hM i právě tehdy, když existuje konečně mnoho vektorů x1, x2, . . . , xn ∈ M a

existují reálná čísla α1, α2, . . . , αn taková, že

z = α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn.

(2.4)

24

Lineární algebra

2. Lineární závislost a nezávislost, lineární obal, báze, dimenze

Vlastnosti
lineárního
obalu

2.34. Věta. Nechť L je lineární prostor, M ⊆ L, N ⊆ L. Pokud je M ⊆ N , pak platí hM i ⊆ hN i.

Důkaz. Nechť z ∈ hM i, tj. předpokládáme, že z lze zapsat jako lineární kombinaci konečně mnoha
prvků z M . Protože tyto prvky leží i v N , můžeme říci, že z lze zapsat jako lineární kombinaci konečně
mnoha prvků z N . To podle poznámky 2.33 znamená, že z ∈ hN i.

2.35. Věta. Nechť L je lineární prostor a M ⊆ L. Pak platí:

(1)

M ⊆ hM i.

(2)

hM i = hhM ii.

(3)

Je-li z ∈ hM i, pak hM i = hM ∪ {z}i.

Důkaz. (1) Stačí ukázat, že pokud z ∈ M pak z ∈ hM i. Platí z = 1 · z, takže pro z existuje konečně
mnoho prvků z M (jmenovitě prvek z samotný) tak, že z je lineární kombinací těchto prvků. To podle
poznámky 2.33 znamená, že z ∈ hM i.

(2) Protože platí věta 2.34 a vzhledem k (1) stačí ukázat, že hhM ii ⊆ hM i. Nechť z ∈ hhM ii,

ukážeme že z ∈ hM i. Protože z ∈ hhM ii, existují vektory x1, x2, . . . , xn ∈ hM i takové, že platí (2.4).
Pro každé i ∈ {1, . . . , n} je xi ∈ hM i, tj. existuje konečně mnoho vektorů yi,1, . . . , yi,k

i ∈ M

takových,

že

xi = βi,1 yi,1 + · · · + βi,k