Lineární algebra

(1)

B je lineárně nezávislá,

(2)

hBi = L.

2.43. Poznámka. V definici 2.42 se mluví o L jako o lineárním prostoru. Není ale vyloučeno, že L je
lineární podprostor nějakého jiného (většího) lineárního prostoru P , protože lineární podprostor je podle
poznámky 1.16 sám o sobě lineárním prostorem.

2.44. Příklad. Množina vektorů B = {(1, 2, 3), (1, 0, 2), (−2, 1, 0)} je bází lineárního prostoru R3, pro-
tože je podle příkladu 2.13 lineárně nezávislá a podle příkladu 2.32 je hBi = R3.

2.45. Příklad. Množina vektorů B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} je bází lineárního prostoru R3. Snadno
zjistíme, že je lineárně nezávislá a navíc pro vektor (a, b, c) ∈ R3 je

(a, b, c) = a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1).

Každý vektor (a, b, c) lze tedy zapsat jako lineární kombinaci vektorů z B, neboli hBi = R3.

Všimněme si, že jsme už našli dvě báze lineárního prostoru R3 (v příkladu 2.44 a v tomto příkladu).

Vidíme tedy, že báze není určena lineárním prostorem jednoznačně. Například pro α 6= 0 jsou množiny
Bα = {α (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} různé báze lineárního prostoru R

3. Bází je tedy nekonečně mnoho.

2.46. Příklad. Množina uspořádaných n-tic B = {(1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 0, 1)}
tvoří bázi lineárního prostoru Rn. Je lineárně nezávislá a platí hBi = Rn z analogických důvodů, jako
v příkladu 2.45. Takovou bázi lineárního prostoru Rn nazýváme standardní bází.

26

Lineární algebra

2. Lineární závislost a nezávislost, lineární obal, báze, dimenze

2.47. Příklad. Množina B = {1, x, x2, x3, . . .} tvoří bázi lineárního prostoru P všech polynomů. Podle
příkladu 2.28 je lineárně nezávislá. Zbývá tedy ověřit, že hBi = P . Zvolme nějaký polynom p ∈ P .
Ukážeme, že p ∈ hBi. Pro každý polynom p ∈ P existuje n ∈ N a reálná čísla a0, a1, . . . , an taková, že
hodnota polynomu p v bodě x je dána vzorcem