Lineární algebra

2.56. Věta (Steinitzova o výměně). Nechť L je lineární prostor, M ⊆ L je libovolná množina a
N ⊆ hM i je lineárně nezávislá množina, obsahující k vektorů. Pak lze odebrat z množiny M jejích
k vektorů a vytvořit tak množinu M1, pro kterou platí:

hM i = hM1 ∪ N i.

Jinými slovy, odebráním vhodných k vektorů z M a nahrazením těchto vektorů všemi lineárně nezávislými
vektory z N se lineární obal hM i nezmění.

Důkaz (pro hloubavé čtenáře). Použijeme matematickou indukci podle k (o indukci viz důkaz věty 4.3).
Pro k = 0 věta platí, protože množinu M vůbec neměníme.

Nechť nyní věta platí pro každou lineárně nezávislou množinu s k prvky a dokážeme, že platí i

pro množinu s k + 1 prvky. Nechť N = {v1, v2, . . . , vk, vk+1} ⊆ hM i. Označme N1 = {v1, v2, . . . , vk}.
Z množiny M lze odebrat k vektorů tak, že vznikne množina M1, pro kterou je

hM i = hM1 ∪ N1i = hM1 ∪ N i.

První rovnost je indukční předpoklad a druhá rovnost plyne z toho, že vk+1 ∈ hM i = hM1 ∪ N1i a
z třetí vlastnosti věty 2.35. Stačí tedy najít v M1 vektor w1 tak, aby jej šlo odebrat a obal se nezměnil,
tedy hM1 ∪ N i = hM1 \ {w1} ∪ N i. Protože vk+1 ∈ hM i = hM1 ∪ N1i, existuje konečně mnoho vektorů
w1, w2, . . . , wn ∈ M1 tak, že

vk+1 = α1w1 + α2w2 + · · · + αnwn + β1v1 + · · · + βkvk.

Protože N je lineárně nezávislá, tak (A) při k = 0 musí být vk+1 nenulový a (B) při k > 0 nesmí vk+1
být lineární kombinací vektorů v1, v2, . . . , vk (věta 2.21). Z toho plyne, že n > 0 a nemohou být všechny
koeficienty αi nulové. Uspořádáme nyní w1, w2, . . . , wn tak, aby α1 6= 0. Z předchozí rovnosti plyne