Lineární algebra

Uvažujme všechny podmnožiny Ai ⊆ M , pro které hAii = L. Vidíme, že existuje aspoň jedna

taková podmnožina, sice množina M samotná. Ze všech takových podmnožin Ai vyberme tu, která má
nejmenší počet prvků (všechny tyto podmnožiny jsou konečné, takže pro každou můžeme spočítat její
počet prvků). Je možné, že takových množin s nejmenším počtem prvků bude existovat více, pak je
jedno, kterou z nich zvolíme. Označme ji B. Víme, že hBi = L (tuto vlastnost mají všechny podmnožiny
Ai, takže jmenovitě též množina B). Dále víme, že odebráním jakéhokoli prvku z množiny B už nebude
pro novou B1 platit hB1i = L. Kdyby to platilo, tak nebyla vybrána B s nejmenším počtem prvků. Nyní
použijeme větu 2.40. Množina B je tedy lineárně nezávislá.

27

Lineární algebra

2. Lineární závislost a nezávislost, lineární obal, báze, dimenze

2.54. Poznámka. Příklad báze prostoru FD všech funkcí definovaných na množině D ⊂ R nebudeme
uvádět, protože nemáme prostředky, jak takovou bázi zapsat. Báze je nekonečnou množinou, která má
větší mohutnost, než je mohutnost množiny přirozených čísel.

Báze jsou
stejně velké

2.55. Poznámka. Ukážeme, že dvě (obecně různé) báze stejného lineárního prostoru mají stejný počet
prvků. Tento důkaz se tradičně opírá o Steinitzovu větu o výměně. Čtenář si může pro větší názornost
vytvořit množinu M černých kamínků a lineárně nezávislou množinu N bílých kamínků, které všechny
leží v lineárním obalu černých. Může začít vyměňovat postupně černé kamínky za bílé kus za kus. Při
použití následující Steinitzovy věty o výměně čtenář shledá, že výměnu lze udělat tak, aby lineární obal
původní množiny M zůstal zachován i přesto, že v ní jsou nahrazeny některé černé kameny všemi bílými.