Lineární algebra

w1 =

1

α1

vk+1 −

α2
α1

w2 − · · · −

αn

α1

wn −

β1

α1

v1 − · · · −

βk
α1

vk,

takže w1 ∈ hM1 \ {w1} ∪ N1 ∪ {vk+1}i. Podle (3) z věty 2.35 se přidáním vektoru w1 do množiny
M1 \ {w1} ∪ N lineární obal množiny nezmění, takže je hM1 \ {w1} ∪ N i = hM1 ∪ N i = hM i. Uvedený
postup přitom zaručil w1 ∈ M1, takže z množiny M jsme celkem odebrali k + 1 vektorů.

2.57. Poznámka. Steinitzova věta má následující důsledky.

2.58. Věta. Nechť L je lineární prostor, M ⊆ L je libovolná množina a N ⊆ hM i je lineárně nezávislá
množina. Pak počet prvků množiny N je menší nebo roven počtu prvků množiny M .

Důkaz. Věta 2.56 tvrdí, že z množiny M lze odebrat tolik vektorů, kolik jich má množina N . Kdyby
měla množina N více vektorů než množina M , pak by tento úkon nešel provést, tj. dostali bychom se do
sporu se Steinitzovou větou.

2.59. Věta. Dvě báze stejného lineárního prostoru jsou obě nekonečné nebo mají stejný počet prvků.

Důkaz. Uvažujme dvě konečné báze B1 a B2 lineárního prostoru L. Protože B1 ⊆ hB2i a B1 je lineárně
nezávislá, musí podle věty 2.58 mít B2 aspoň tolik prvků, jako má B1. Protože B2 ⊆ hB1i a B2 je
lineárně nezávislá, musí podle stejné věty mít B1 aspoň tolik prvků, jako má B2. Takže počet prvků
těchto množin musí být stejný.

Co se stane, když B1 je konečná a B2 nekonečná? Pak každá konečná podmnožina K ⊆ B2 je lineárně

nezávislá. Vezmu takovou konečnou podmnožinu K, která má více prvků, než B1. Protože K ⊆ hB1i
a K je lineárně nezávislá, musí mít B1 aspoň tolik prvků, jako K. To ale nemá. Dostáváme tedy spor,
takže situace „ jedna báze konečná a druhá nekonečnáÿ nemůže nastat.