Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
.
3.4. Věta. Množina všech matic shodného typu (m, n) tvoří se sčítáním matic a násobením matice
reálným číslem podle definice 3.3 lineární prostor. Nulový vektor tohoto prostoru je nulová matice.
Důkaz. Důkaz si čtenář provede sám jako cvičení. Srovnejte s příklady 1.9 a 1.11.
3.5. Příklad. Množina
B =
1
0
0
0
0
0
,
0
1
0
0
0
0
,
0
0
1
0
0
0
,
0
0
0
1
0
0
,
0
0
0
0
1
0
,
0
0
0
0
0
1
tvoří bázi lineárního prostoru M3,2 všech matic typu (3, 2).
Abychom to ukázali, ověříme lineární nezávislost B a dále vlastnost hBi = M3,2. Nejprve ověříme
lineární nezávislost. Položme lineární kombinaci prvků z B rovnu nulové matici:
α
1
0
0
0
0
0
+ β
0
1
0
0
0
0
+ γ
0
0
1
0
0
0
+ δ
0
0
0
1
0
0
+ ε
0
0
0
0
1
0
+ ζ
0
0
0
0
0
1
=
0
0
0
0
0
0
Odpovídající složky se musejí rovnat, což vede k šesti rovnicím: α = 0, β = 0, γ = 0, δ = 0, ε = 0, ζ = 0.
Jedině triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru.
30
Lineární algebra
3. Matice
Ověříme nyní vlastnost (2) z definice 2.42. Nechť
a
b
c
d
e
f
je nějaká matice z lineárního prostoru M3,2. Snadno zjistíme, že existuje lineární kombinace matic z mno-
žiny B, která je rovna této matici (stačí volit α = a, β = b, γ = c, δ = d, µ = e, ν = f ). Tím jsme
dokázali, že hBi = M3,2 a B je tedy báze lineárního prostoru matic M3,2. Nazýváme ji standardní bází.
Dimenze lineárního prostoru M3,2 je podle definice 2.60 rovna šesti.
3.6. Příklad. Je-li Mm,n lineární prostor všech matic typu (m, n), pak dim Mm,n = m · n. Analogicky
jako v příkladu 3.5 lze totiž sestrojit bázi lineárního prostoru Mm,n, která má m · n prvků.
3.7. Poznámka. Na matice můžeme pohlížet jako na prvky lineárního prostoru, protože je umíme sčítat
a násobit reálným číslem. Kromě toho se ale naučíme s maticemi dělat další kousky. Například umíme
řádky matice modifikovat způsobem, jaký jsme se naučili při Gaussově eliminační metodě. V následující
části textu ukážeme, že modifikace matice podle Gaussovy eliminační metody má několik velmi důležitých
vlastností s praktickými důsledky.