Lineární algebra

V jiné literaruře se někdy neuvádí prohození řádků jako samotný krok Gaussovy eliminační metody,

protože tento krok lze (poněkud těžkopádně) provést opakovaným použitím kroku (3) a v závěru aplikací
kroku (2):

 a

b

∼

a

a + b

∼

 a − (a + b)

a + b

=

−b

a + b

∼

 −b

a

∼

 b

a

.

3.12. Definice. Množinu všech řádků matice A značíme r: A. Lineární obal množiny všech řádků ma-
tice A je tedy označen symbolem hr: Ai.

31

Lineární algebra

3. Matice

Gaussova
eliminace
zachovává
obal

3.13. Věta. Je-li A ∼ B, pak hr: Ai = hr: Bi. Jinými slovy: Gaussova eliminační metoda zachovává
lineární obal řádků matice.

Důkaz. Dokážeme nejdříve pomocné tvrzení: jestliže A1 je matice, která vznikne z matice A jedním
krokem podle Gaussovy eliminační metody, pak hr: A1i ⊆ hr: Ai.

Všechny řádky matice A1 lze zapsat jako lineární kombinaci řádků matice A. Je přitom jedno, zda

matice A1 vznikla prohozením řádků, pronásobením jednoho řádku nenulovým reálným číslem, přičtením
násobku jednoho řádku k jinému, odebráním nebo přidáním nulového řádku. Platí tedy, že řádky matice
A1 leží v hr: Ai. Proto hr: A1i ⊆ hhr: Aii. Podle věty 2.35 je hhr: Aii = hr: Ai, takže hr: A1i ⊆ hr: Ai.

Pomocné tvrzení máme dokázáno. Pokud toto tvrzení uplatníme opakovaně (matice B vznikla z ma-

tice A po konečně mnoha krocích podle Gaussovy eliminační metody), máme výsledek hr: Bi ⊆ hr: Ai.
Tvrzení dokazované věty nyní plyne ze symetrie relace „∼ÿ, tj. z věty 3.10.

3.14. Příklad. Řádky matice A i matice B uvedené níže mají podle věty 3.13 stejné lineární obaly.
Tyto obaly tvoří podle věty 2.37 nějaký lineární podprostor lineárního prostoru R5.

A =