Lineární algebra

28

Lineární algebra

2. Lineární závislost a nezávislost, lineární obal, báze, dimenze

Dimenze
prostoru

2.60. Definice. Dimenze lineárního prostoru L je počet prvků báze tohoto prostoru L. Dimenzi prostoru
L označujeme symbolem dim L. Dimenzi jednobodového lineárního prostoru L = {o} pokládáme rovnu
nule.

2.61. Poznámka. Věta 2.59 nám zaručuje smysluplnost definice dimenze. Ačkoli lineární prostor může
mít více bází, všechny tyto báze mají podle této věty stejný počet prvků, nebo jsou nekonečné. V tomto
druhém případě klademe dim L = ∞.

2.62. Příklad. dim Rn = n, viz příklad 2.46. dim P≤n = n + 1, viz příklad 2.48. dim P = ∞, viz
příklad 2.47. Konečně dim UO = 3 podle příkladu 2.49. Važme si toho, že nás Stvořitel obklopil lineárním
prostorem dimenze 3 nejen proto, že trojka je šťastné číslo.

Dimenze
podprostoru

2.63. Věta. Nechť L je lineární prostor a M ⊆ L je lineární podprostor lineárního prostoru L. Pak
dim M ≤ dim L.

Důkaz. Označme BL nějakou bázi lineárního prostoru L. Báze BM množiny M je lineárně nezávislá
množina, pro kterou je BM ⊆ hBLi. Podle věty 2.58 má BM nejvýše tolik prvků, jako BL.

Počet prvků
v LN mno-
žině

2.64. Věta. Nechť L je lineární prostor, dim L = n a M = {x1, x2, . . . , xm}. Pak platí:
(1) Je-li M lineárně nezávislá, pak m ≤ n.
(2) Je-li m > n, pak M je lineárně závislá.
(3) Nechť m = n. Pak M je lineárně nezávislá právě tehdy, když hM i = L.

Důkaz. (1) Množinu M lze doplnit podle věty 2.51 na případně větší množinu B, která je bází. Tato
množina má podle věty 2.59 vždy n prvků. Protože M ⊆ B, musí m ≤ n.