Lineární algebra

2.51. Věta. Nechť L je lineární prostor. Pro každou lineárně nezávislou množinu N ⊆ L existuje báze
B lineárního prostoru L taková, že N ⊆ B. Pro každou množinu M ⊆ L takovou, že hM i = L, existuje
báze B lineárního prostoru L taková, že B ⊆ M .

2.52. Příklad. Je-li N = {x1, x2, . . . , xk} lineárně nezávislá množina lineárního prostoru R

n, pak podle

předchozí věty existuje množina B = {x1, x2, . . . , xm}, m ≥ k taková, že B je báze. Ukážeme v tomto
příkladě, jak bychom takovou bázi nalezli.

Pokud už hN i = Rn, pak N samotná je báze a položíme B = N . Pokud ale hN i 6= Rn, pak existuje

prvek x ∈ Rn, pro který x 6∈ hN i Ptáme se, zda už N ∪ {x} je báze. Podle věty 2.39 tato množina
zůstává lineárně nezávislá. Pokud hN ∪ {x}i = Rn, pak jsme našli bázi. Jestliže tato vlastnost neplatí,
opakujme postup s přidáním dalšího prvku y 6∈ hN ∪ {x}i znovu. Tento postup budeme opakovat tak
dlouho, dokud budou existovat vektory mimo lineární obal naší postupně rozšiřované množiny. Podle
příkladu 2.20 dospějeme k výsledku po konečně mnoha krocích, protože v Rn nelze vytvořit lineárně
nezávislou množinu, která by měla více než n prvků.

Poznamenejme, že tento postup vedl k cíli, protože jsme měli zaručeno, že báze bude mít konečně

mnoho prvků. Pro nekonečné báze bychom se tímto postupem mohli „utopit v nekonečnuÿ. Na druhé
straně postup lze aplikovat na libovolný lineární prostor, který má konečné báze, nemusíme se nutně
omezovat na Rn.

2.53. Příklad. Druhou část věty 2.51 si dokážeme aspoň pro konečnou množinu M . Je hM i = L a máme
dokázat, že existuje B ⊆ M taková, že hBi = L a navíc B je lineárně nezávislá.