Lineární algebra

i yi,ki .

Dosazením těchto rovnic do (2.4) a roznásobením dostáváme výsledek, že z je lineární kombinací konečně
mnoha vektorů yi,j ∈ M , i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , ki}. To znamená, že z ∈ hM i.

(3) Toto tvrzení je důsledkem (1) a (2). Protože M ⊆ hM i a {z} ⊆ hM i, je M ∪ {z} ⊆ hM i.

Obalením levé i pravé strany této množinové inkluze dostáváme hM ∪ {z}i ⊆ hhM ii = hM i. Obrácená
inkluze plyne z věty 2.34.

2.36. Poznámka. Vlastnost (1) věty 2.35 lidově řečeno znamená, že „lineární obaleníÿ množiny může
přidat do této množiny další prvky, ale pokud tento proces zopakujeme, další prvky už podle vlastnosti (2)
nezískáme.

Takové množiny, které při „lineárním obaleníÿ již nepřidávají žádné další prvky, jsou vždy lineárními

podprostory. To ukazuje následující věta.

Lineární
obal je
podprostor

2.37. Věta. Nechť L je lineární prostor, M ⊆ L. Množina M je lineárním podprostorem lineárního
prostoru L právě tehdy, když hM i = M .

Důkaz. Dokážeme nejprve „M je lineární podprostor, potom hM i = M ÿ. Vezmeme z ∈ hM i a dokážeme,
že z ∈ M . Protože z ∈ hM i, existuje konečně mnoho vektorů x1, x2, . . . , xn ∈ M takových, že lze psát
z = α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn. Každý sčítanec leží podle vlastnosti (2) definice 1.17 v množině M .
Podle vlastnosti (1) definice 1.17 v množině M leží i součet těchto vektorů, tedy z ∈ M .

Zbývá dokázat „hM i = M , potom M je lineární podprostorÿ. Uvažujme x ∈ M, y ∈ M . Abychom

dokázali, že M je lineární podprostor, stačí ověřit, že lineární kombinace 1 · x + 1 · y leží v M a dále
α · x + 0 · y leží v M . Protože x ∈ M , y ∈ M , je podle definice lineárního obalu každá jejich lineární
kombinace prvkem hM i a podle předpokladu je hM i = M . V množině M tedy leží i uvedené dvě lineární
kombinace vektorů x, y.