Lineární algebra

n

X

i=1
i6=r

αi xi = −αr xr.

Po vynásobení obou stran rovnice koeficientem −1/αr dostáváme

n

X

i=1
i6=r

αi

−αr

xi = xr.

Vektor xr je tedy roven lineární kombinaci ostatních vektorů.

V druhé části důkazu předpokládáme existenci koeficientu r takového, že vektor xr je roven li-

neární kombinaci ostatních vektorů. Dokážeme lineární závislost vektorů x1, x2, . . . , xn. Pro nějaké
r ∈ {1, . . . , n} tedy platí

xr =

n

X

i=1
i6=r

βi xi.

Přičteme-li k oběma stranám této rovnice vektor −xr, dostáváme

n

X

i=1
i6=r

βi xi + (−1) · xr = o,

což je netriviální lineární kombinace vektorů x1, x2, . . . , xn (její r-tý koeficient je jistě nenulový), která
je rovna nulovému vektoru.

22

Lineární algebra

2. Lineární závislost a nezávislost, lineární obal, báze, dimenze

2.22. Poznámka. Věta 2.21 se dá přeformulovat též takto: vektory x1, x2, . . . , xn jsou lineárně nezávislé
právě tehdy, když žádný z vektorů xi, i ∈ {1, . . . , n}, není lineární kombinací ostatních vektorů.

2.23. Poznámka. Věta 2.21 má pro n = 2 tento důsledek: dva nenulové vektory x, y jsou lineárně závislé
právě tehdy, když existuje α ∈ R tak, že x = α y. Lidově řečeno: jeden vektor je násobkem druhého.

Závislost
oriento-
vaných
úseček

2.24. Příklad. Uvažujme lineární prostor UO všech orientovaných úseček z příkladu 1.24.

(1) Leží-li dvě úsečky u, v ∈ UO ve stejné přímce, pak jsou lineárně závislé, protože jedna je násobkem

druhé. Neleží-li úsečky u, v ve společné přímce, pak jsou lineárně nezávislé.

(2) Nechť u, v ∈ UO jsou lineárně nezávislé. Pak množina všech lineárních kombinací α u + β v

vyplňuje množinu všech úseček, které mají koncový bod v rovině určené úsečkami u, v.