Lineární algebra

x = (1, 2, 3),

y = (1, 0, 2),

z = (−2, 1, 0).

Zjistíme z definice, zda jsou vektory x, y, z lineárně závislé či nezávislé. Podle poznámek 2.8 a 2.10 stačí
zjistit, jaké mohou být koeficienty α, β, γ, pokud položíme α x + β y + γ z = o. Dosazením do této rovnice
dostáváme

α (1, 2, 3) + β (1, 0, 2) + γ (−2, 1, 0) = (0, 0, 0),

(α + β − 2 γ, 2 α + γ, 3 α + 2 β) = (0, 0, 0).

Dvě uspořádané trojice se rovnají, pokud se rovnají jejich odpovídající složky. Musí tedy platit tyto
rovnice:

α +

β − 2 γ = 0,

2 α

+

γ = 0,

3 α + 2 β

= 0.

Tato soustava má jediné řešení α = 0, β = 0, γ = 0 (zkuste si to ověřit třeba Gaussovou eliminační
metodou). Vidíme tedy, že jedině triviální lineární kombinace vektorů x, y, z je rovna nulovému vektoru,
což podle definice 2.9 znamená, že vektory x, y, z jsou lineárně nezávislé.

19

Lineární algebra

2. Lineární závislost a nezávislost, lineární obal, báze, dimenze

2.14. Příklad. Uvažujme lineární prostor všech reálných funkcí definovaných na R a v něm tři funkce
f, g, h, které jsou zadané těmito vzorci:

f (x) = sin(x),

g(x) = cos(x),

h(x) = 4

∀x ∈ R.

Ověříme, zda jsou tyto tři funkce lineárně nezávislé či závislé. Položíme jejich lineární kombinaci rovnu
nulové funkci:

α · sin(x) + β · cos(x) + γ · 4 = 0

∀x ∈ R

(2.1)

a zjistíme, jakých hodnot mohou nabývat koeficienty α, β, γ. Tato rovnost má být splněna pro všechna
x ∈ R. Je možné, že při volbě tří hodnot x ∈ R už vynutíme trivialitu lineární kombinace v (2.1).
Zkusme štěstí například pro x ∈