Lineární algebra

Lineární
prostor nad
tělesem

1.66. Poznámka. V definici lineárního prostoru 1.6 jsme sice byli dostatečně abstraktní (vektory, ani
operace s nimi jsme blíže nespecifikovali), ale pracovali jsme tam s docela konkrétní množinou R reálných
čísel. Pokud v této definici nahradíme množinu R pojmem těleso (s blíže nespecifikovanými prvky a
operacemi), dostáváme lineární prostor nad tělesem. Můžeme pak pracovat s lineárním prostorem nad
tělesem komplexních čísel, lineárním prostorem nad tělesem Z2 atd.

Pokusíme se tedy do třetice přepsat definici lineárního prostoru, tentokrát nad libovolným tělesem.

1.67. Definice. Množinu L nazýváme lineárním prostorem nad tělesem T , pokud jsou definovány operace
+ : L × L → L a · : T × L → L tak, že L tvoří s operací + komutativní grupu, a dále ∀α, β ∈ T, ∀x, y ∈ L:

(A)

α · (β · x) = (α · β) · x,

(B)

α · (x + y) = α · x + α · y,

(C)

(α + β) · x = α · x + β · x,

(D)

1 · x = x.

1.68. Poznámka. Volíme-li za těleso T v této definici množinu reálných čísel R, dostáváme vzhledem
k poznámce 1.42 definici lineárního prostoru 1.6. Abych uklidnil čtenáře, tak konstatuji, že v dalších ka-
pitolách tohoto textu nebudeme potřebovat lineární prostor v takové obecnosti (nad libovolným tělesem)
a vystačíme si většinou s lineárním prostorem nad reálnými čísly. Pokud tedy nebude výslovně řečeno
jinak (například lineární prostor nad Z2 studovaný v kapitole 10), pak pojmem lineární prostor myslíme
lineární prostor nad R a stačí použít definici 1.6.

1.69. Příklad. Vrátíme se k příkladu lineárního prostoru reálných uspořádaných n-tic 1.11 a zobecníme
ho na lineární prostor uspořádaných n-tic prvků libovolného tělesa.