Lineární algebra

1.53. Příklad. Reálná čísla s operacemi sčítání a násobení tvoří těleso.

1.54. Příklad. Racionální čísla jsou podtělesem tělesa reálných čísel. Podtěleso je definováno v souladu
s poznámkou 1.48 jako podmnožina tělesa, která sama o sobě se stejnými operacemi tvoří těleso.

1.55. Příklad. Množina celých čísel s operacemi sčítání a násobení netvoří těleso, protože pro operaci
násobení neexistuje pro všechna nenulová celá čísla inverzní prvek jako celé číslo. Toto je příklad struk-
tury, která má všechny vlastnosti tělesa s výjimkou jediné: není zaručena existence inverzního prvku
pro násobení. Taková struktura se nazývá okruh.

1.56. Příklad. Množina komplexních čísel s operacemi sčítání a násobení tvoří těleso.

1.57. Věta. Pro libovolné prvky a, b z tělesa platí: a · b = 0 právě tehdy, když a = 0 nebo b = 0.

Důkaz. (⇒): T \ {0} musí být podle vlastnosti (2) definice 1.51 vzhledem k násobení grupa, tj. součin
dvou nenulových prvků musí být prvek nenulový. Jinými slovy, pokud součin vychází nulový, musí aspoň
jeden z činitelů být nula.

(⇐): Je třeba dokázat, že 0 · a = 0. Protože 0 je neutrální prvek vzhledem ke sčítání, platí 0 + 0 = 0.

Díky distributivnímu zákonu je 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a. K oběma stranám rovnosti přičteme
opačný prvek k prvku 0 · a, tedy prvek − 0 · a. Na levé straně dostáváme 0 a na pravé 0 · a.

Galoisovo
těleso se
dvěma prvky

1.58. Příklad. Těleso musí podle definice obsahovat 0 a 1 a tyto dva prvky musejí být různé. Takže
těleso musí obsahovat aspoň dva prvky. Ukážeme, že existuje těleso, které obsahuje jen tyto dva prvky,
tedy T = {0, 1}.