Lineární algebra

1.35. Příklad. Množina R \ {0} s operací násobení tvoří grupu. Skutečně platí asociativní zákon pro
násobení reálných čísel: (x · y) · z = x · (y · z), dále existuje jednotkový prvek 1, pro který 1 · x = x · 1 = 1
a konečně pro každé x ∈ R \ {0} existuje y = x−1 tak, že x · y = y · x = 1. Navíc se jedná o grupu
komutativní, protože násobení reálných čísel je komutativní.

Pokud operaci grupy značíme symbolem „·ÿ, pak obvykle prvek e z vlastnosti (2) značíme symbo-

lem „1ÿ (jedna, jednotkový prvek). Prvek y z vlastnosti (3) nazývame inverzní a značíme x−1. Násobení
inverzním prvkem v komutativní grupě nazýváme dělení a místo a · b−1 píšeme a/b nebo

a

b .

1.36. Příklad. Množina R s operací násobení netvoří grupu, protože 0 nemá inverzní prvek.

1.37. Příklad. Množina všech reálných funkcí F = {f : R → R, f je prostá a „naÿ} s operací skládání
funkcí ◦ : F × F → F , definovanou pomocí (g ◦ f )(x) = g f (x)

 ∀x ∈ R, tvoří grupu. Skutečně platí

asociativní zákon (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) a existuje jednotkový prvek: identické zobrazení i, pro které
i(x) = x. Ke každé prosté funkci f lze setrojit funkci inverzní f −1 tak, že f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = i. Přitom
se nejedná o grupu komutativní, protože například pro f (x) = x3, g(x) = 1 + x je (f ◦ g)(x) = (1 + x)3,
zatímco (g ◦ f )(x) = 1 + x3.

1.38. Příklad. Kdybychom v předchozím příkladě místo funkcí f z R na R uvažovali prostá zobrazení
p z nějaké množiny M na M , dostáváme znovu grupu, která nemusí být komutativní. V případě konečné
množiny M se jedná o grupu permutací.