Lineární algebra

10

Lineární algebra

1. Lineární prostor, grupa, těleso

prostoru UO. Skutečně, součet libovolných dvou úseček leží ve stejné rovině (protože tam leží celý rov-
noběžník) a násobek úsečky leží dokonce na stejné přímce, jako původní úsečka, takže nutně zůstává ve
stejné rovině.

Každá rovina, která prochází bodem O, obsahuje podmnožinu úseček z UO, které tvoří lineární

podprostor lineárního prostoru UO.

Uvažujme nyní dvě roviny, které mají společný bod O, ale nejsou totožné. Jejich průnik je nějaká

přímka, procházející bodem O. Všechny orientované úsečky z UO, které leží v této přímce, tvoří podle
věty 1.22 rovněž lineární podprostor lineárního prostoru UO.

Triviální
prostor

1.26. Poznámka. Zamysleme se, jak může vypadat lineární prostor s nejmenším počtem prvků. Podle
definice 1.6 je lineární prostor vždy neprázdná množina, takže musí obsahovat aspoň jeden prvek. Ukazuje
se, že jednobodová množina L = {o} je skutečně nejmenší možný lineární prostor. Přitom o je nulový

prvek z vlastnosti (7). Sčítání je definováno předpisem o + o

df

= o a násobení skalárem α předpisem

α · o

df

= o. Takový lineární prostor nazýváme triviální.

1.27. Poznámka. Ukážeme, že konečná množina obsahující aspoň dva prvky nemůže být lineárním
prostorem. Znamená to, že se nám pro takovou množinu L nepovede najít operace + : L × L → L a
· : R × L → L takové, aby současně splňovaly vlastnosti (1) až (7) z definice 1.6.

Jeden z prvků množiny L musí být nulový prvek (označme jej o) a jiný prvek označme třeba x. Další

prvky označovat nemusíme. Uvažujme množinu K = {α · x; α ∈ R}. Protože K ⊆ L, je i K konečná
množina. Protože reálných čísel je nekonečně mnoho, a přitom K je konečná, musejí existovat dvě různá
reálná čísla β 6= γ taková, že β · x = γ · x. Z definice lineárního prostoru 1.6 dostáváme: