Lineární algebra

a x2 + 2y2 = 0. Pro součet (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) platí x1 + 2y1 + x2 + 2y2 = 0 (sečetli jsme

9

Lineární algebra

1. Lineární prostor, grupa, těleso

předchozí rovnice), tj. (x1 + x2) + 2(y1 + y2) = 0, takže i součet leží v množině M . Nyní vlastnost (2):
Jestliže (x, y, z) ∈ M , α ∈ R, pak platí x + 2y = 0. Vynásobením rovnice číslem α dostáváme, že též
α x + 2α y = 0, což ale znamená, že i trojice α · (x, y, z) leží v množině M . Ověření, že množina N je
lineárním podprostorem, lze provést podobně.

Množina S není lineárním podprostorem, protože například 0 · (x, y, z) = (0, 0, 0), což je ale prvek,

který neleží v S. Neplatí totiž 2 · 0 + 0 − 0 = 3.

Průnik
prostorů

1.22. Věta. Nechť M ⊆ L a N ⊆ L jsou lineární podprostory lineárního prostoru L. Pak platí:

(1)

M ∩ N je lineární podprostor lineárního prostoru L.

(2)

M ∪ N nemusí být lineární podprostor lineárního prostoru L.

Důkaz. (1) Z předpokladů věty a definice 1.17 víme, že pro x ∈ M , y ∈ M , α ∈ R je x + y ∈ M a
α · x ∈ M . Totéž platí pro množinu N . Pokud nyní x ∈ M ∩ N , y ∈ M ∩ N , pak x i y leží současně
v M i N , takže platí, že x + y ∈ M , α · x ∈ M a současně x + y ∈ N , α · x ∈ N . Prvky x + y a α · x
leží v obou množinách M a N současně a to není jinak možné, než že leží v průniku těchto množin.

(2) Abychom ukázali, že sjednocení M ∪ N nemusí být lineárním podprostorem, stačí najít vhodný