Lineární algebra

1.15. Příklad. Nechť n ∈ N, n ≥ 0 (symbolem N značíme množinu přirozených čísel). Množina Pn
všech polynomů právě n-tého stupně s definicemi sčítání a násobení skalárem podle příkladu 1.4 netvoří
lineární prostor. Připomeneme, že stupeň polynomu se definuje jako největší k ∈ N takové, že ak je ve
vzorci (1.5) nenulové. Jsou-li všechna ak nulová, definujeme stupeň takového polynomu jako −1.

Proč není množina Pn lineárním prostorem? Sečteme-li totiž dva polynomy n-tého stupně, například

xn + 2 a −xn − 2, dostáváme nulový polynom, což je polynom stupně −1. Tento protipříklad ukazuje,
že neplatí vlastnost + : Pn × Pn → Pn. Dokonce neplatí ani · : R × Pn → Pn (zkuste násobit polynom
n-tého stupně nulou).

1.16. Poznámka. Příklady 1.14 a 1.15 ukazují, že můžeme vymezit podmnožinu M ⊆ L lineárního
prostoru L a převzít pro ni operace sčítání a násobení konstantou z L. Za jistých okolností množina
M s převzatými operacemi může být lineárním prostorem, ale nemusí být vždy. Z příkladu 1.14 navíc
vidíme, že stačí ověřit vlastnosti + : M × M → M a · : R × M → M , abychom mohli prohlásit, že M je
lineární prostor. Vlastnosti (1) až (7) není třeba znovu ověřovat. Podmožinu lineárního prostoru, která
je sama lineárním prostorem při použití stejných operací, nazýváme lineárním podprostorem. Přesněji
viz následující definice.

Lineární
podprostor

1.17. Definice. Nechť L je lineární prostor s operacemi „+ÿ a „·ÿ. Neprázdnou množinu M ⊆ L
nazýváme lineárním podprostorem prostoru L, pokud pro všechna x ∈ M, y ∈ M a α ∈ R platí:

(1)

x + y ∈ M,

(2)

α · x ∈ M.