Lineární algebra

definice 1.6 jsme oprávněni uspořádaným dvojicím se sčítáním a násobením podle definic (1.1) a (1.2)
říkat vektory.

1.10. Příklad. Množina R2 se sčítáním ⊕ podle definice (1.4) a násobením  podle (1.2) netvoří lineární
prostor. Není totiž splněna například vlastnost (1) z definice 1.6.

7

Lineární algebra

1. Lineární prostor, grupa, těleso

Prostor Rn

1.11. Příklad. Znakem Rn označíme množinu všech uspořádaných n-tic reálných čísel, (n je nějaké
přirozené číslo, n ≥ 1). Jinými slovy:

R

n = {(a

1, a2, . . . , an); a1 ∈ R, a2 ∈ R, . . . , an ∈ R}.

Definujme + : Rn × Rn → Rn, · : R × Rn → Rn takto: pro každé (a1, . . . , an) ∈ R

n, (b1, . . . , bn) ∈ Rn,

α ∈ R je

(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn)

df

= (a1 + b1, . . . , an + bn),

α · (a1, . . . , an)

df

= (α a1, . . . , α an).

Množina Rn s takto definovanými operacemi tvoří lineární prostor.

Důkaz bychom provedli analogicky jako v příkladu 1.9, ale pro úsporu místa to již nebudeme opa-

kovat. Vidíme tedy, že uspořádané n-tice s takto definovaným sčítáním a násobením skalárem můžeme
nazývat vektory. Speciálně v případě uspořádaných n-tic mluvíme o aritmetických vektorech. Číslo ai
nazýváme i-tou složkou vektoru a = (a1, a2, . . . , an).

1.12. Příklad. Množina R s obvyklým sčítáním reálných čísel a násobení reálného čísla reálným číslem
tvoří lineární prostor. To je zřejmé. Sčítání a násobení reálných čísel totiž splňuje vlastnosti (1) až (7)
z definice 1.6. Tento poznatek si jistě přinášíte ze střední školy. V tomto textu jsme jej už použili, když
jsme ověřovali, že R2 nebo Rn je lineární prostor.