Lineární algebra

Nulovým prvkem lineárního prostoru R je číslo 0. V kontextu sčítání a násobení můžeme tedy říkat

reálným číslům vektory, ale obvykle to neděláme.

Prostor
funkcí

1.13. Příklad. Uvažujme množinu FD všech reálných funkcí reálné proměnné definovaných na nějaké
množině D ⊆ R, tj. FD = {f ; f : D → R}. Pro libovolné funkce f ∈ FD, g ∈ FD a pro libovolné reálné
číslo α definujme součet f + g a násobek skalárem α · f takto:

(f + g)(x)

df

= f (x) + g(x)

∀x ∈ D

(1.6),

(α · f )(x)

df

= α f (x)

∀x ∈ D

(1.7)

(srovnejte s definicí ⊕ a  v příkladu 1.4). Ukážeme, že množina FD s takto definovaným sčítáním a
násobením skalárem tvoří lineární prostor.

Potřebujeme ověřit, zda součet funkcí z množiny FD je opět funkce z množiny FD a skalární násobek

je také funkce z FD. To ale platí, protože sčítáním funkcí ani násobením funkce konstantou podle naší
definice se nemění definiční obor a výsledkem operací je znovu reálná funkce reálné proměnné.

Dále potřebujeme ověřit vlastnosti (1) až (7) z definice 1.6. Pro libovolné f ∈ FD, g ∈ FD, h ∈ FD,

α ∈ R, β ∈ R a pro všechna x ∈ D platí:

(1)

(f + g)(x) = f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x),

(2)

(f + g) + h

(x) = (f + g)(x) + h(x) = f (x) + g(x) + h(x) = f (x) + g(x) + h(x) =

= f (x) + (g + h)(x) = f + (g + h)

(x),

(3)

α · (β · f )

(x) = α (β · f )(x) = α β f (x) = (α β)f (x) = (α β) · f )(x),

(4)

α · (f + g)

(x) = α (f + g)(x) = α (f (x) + g(x)) = α f (x) + α g(x) =